矩阵

矩阵（matrix）是把一组数按行、列排成的长方形数表。矩阵的运算可以把多个数量之间的关系放在一起计算：一组方程的系数、一次平面变换，或几种投入与产出的关系，都能用矩阵表示。

理解矩阵，可以先记住一个具体含义：每一列记录一种单位输入会产生多少输出。 下面先用这个含义计算，再解释矩阵的乘法、方程和逆。本文主要使用实数；复数矩阵的基本运算遵循相同规则。

一张数表怎样表示一个计算过程

设有两种原料包，含有甲、乙两种成分。第一种包含甲一份、乙零份，第二种包含甲一份、乙一份。按“每行一种成分，每列一种原料包”排列，得到 $$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right).$$ 第一列 $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ 是第一种包的成分，第二列 $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ 是第二种包的成分。

取第一种包两包、第二种包一包，总成分是多少？先分别计算两类成分：甲有 $1\times 2+1\times 1=3$ 份，乙有 $0\times 2+1\times 1=1$ 份。把输入的两种包数竖排，计算可简写成 $$A\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\times 2+1\times 1\\ 0\times 2+1\times 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right).$$ 这就是矩阵乘向量。左边的向量记录投入，右边的向量记录产出。把两包和一包换成任意数量 $u,v$，便有 $$A\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)=u\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)+v\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}u+v\\ v\end{array}\right).$$ 中间的式子尤其有用：矩阵乘向量，就是用输入的各个数给矩阵各列加权，再相加。 实际配料量应非负；作为数学运算，这个式子对任意实数 $u,v$ 都有定义。

行、列与元素的记号

有 $m$ 行、$n$ 列的矩阵称为 $m\times n$ 矩阵，第 $i$ 行、第 $j$ 列的数记作 $a_{ij}$。例如 $$C=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 3& 4& 5\end{array}\right)$$ 是一个二行三列矩阵，$c_{23}=5$。下标先写行号，再写列号。

由于每列对应一种输入，$C$ 可以接收三个数；由于每行计算一种输出，结果有两个数。例如 $$C\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\times 1+0\times 2-1\times 3\\ 3\times 1+4\times 2+5\times 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 26\end{array}\right).$$ 因此 $m\times n$ 矩阵把 $n$ 个输入变成 $m$ 个输出。一般公式是 $$(Ax{)}_i=a_{i1}{x}_1+\cdots +a_{in}{x}_n=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j.$$ 求和号只是把前面逐项相乘再相加的过程压缩写下；它没有增加新的运算规则。

同形状矩阵的加法按对应位置进行；数乘则把每个元素乘以同一个数。例如 $$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 2\\ 2& 6\end{array}\right).$$ 若两张表的行列分别表示相同种类的量，相加便是在合计它们。若一列是长度、另一列是时间，组合这些列以前仍需说明计算的实际含义。

矩阵乘矩阵：把两个过程接起来

回到原料矩阵 $A$。再设 $$B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right),B\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2u\\ v\end{array}\right).$$ $B$ 先把第一种投入加倍，$A$ 再把投入换算成成分。连续计算得到 $$A\left(B\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)\right)=A\left(\begin{array}{c}2u\\ v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2u+v\\ v\end{array}\right).$$ 若想只用一个矩阵完成这两步，它的第一列应是输入 $(1,0)$ 时的输出 $(2,0)$，第二列应是输入 $(0,1)$ 时的输出 $(1,1)$。所以 $$AB=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right).$$ 这里右边的 $B$ 先做，左边的 $A$ 后做。乘积的每一列，也就是把 $B$ 的对应列交给 $A$ 计算。由此得到通常的“行乘列”规则： $$(AB{)}_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}.$$ 若 $A$ 是 $m\times n$，$B$ 是 $n\times p$，中间的 $n$ 相同，表示前一步输出的数量恰好等于后一步需要的输入数量；乘积是 $m\times p$。

交换两步会怎样？先做 $A$，再做 $B$，得到 $$B\left(A\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)\right)=B\left(\begin{array}{c}u+v\\ v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2u+2v\\ v\end{array}\right),BA=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 0& 1\end{array}\right).$$

从左向右跟踪同一个输入。上行对应 AB，下行对应 BA；两行中间结果相同，第二步不同使最终结果分开。

图中的箭头按实际执行顺序排列；乘积记号则把先执行的矩阵写在右边。

取 $(u,v)=(1,1)$，两种次序分别得到 $(3,1)$ 和 $(4,1)$。这就说明矩阵乘法通常不交换。它仍满足结合律：三个过程依次执行，先把哪两步合并不改变总效果，因此 $A(BC)=(AB)C$。

从数表看到图形的变化

把 $(u,v)$ 看作平面点，$A$ 的作用仍是 $(u,v)\mapsto (u+v,v)$：点的高度不变，水平位置增加一个高度值。横轴上的点不动，越高的点向右移动得越多，这种变换称为剪切。

先找两条从原点出发的边，再看它们的和：右上顶点由 (1,1) 移到 (2,1)。

图中单位正方形的四个顶点依次变为 $(0,0),(1,0),(2,1),(1,1)$。下边保持不变，上边整体右移一格，于是得到平行四边形。它的底和高仍为一，面积也仍为一。

一般二阶矩阵的两列 $(a,c)$ 与 $(b,d)$ 围成平行四边形。用四边形的有向面积公式，按顶点 $$(0,0),(a,c),(a+b,c+d),(b,d)$$ 绕行一周，所得有向面积是 $$\frac{1}{2}[a(c+d)+(a+b)d-c(a+b)-(c+d)b]=ad-bc.$$ 这就是二阶行列式 $detA$；普通面积是它的绝对值，符号记录绕行方向。剪切矩阵的行列式为一。如果两列在同一直线上，围成的面积为零，平面就被压到一条线或一个点。

左图两列独立，面积为 2×2−1×1=3；右图两列共线，面积为 1×2−2×1=0。

图中每个小格的面积是一。右图虽然列向量都不为零，所有输入仍只能产生同一条线上的输出；行列式为零反映的是方向之间的依赖。

亲手改变矩阵

先保持 $a=d=1,c=0$，只改变 $b$。上边沿左右移动，底边与高都不变，因而面积不变。再选择“压成直线”，观察两个列向量怎样变得共线，正方形怎样失去面积。最后试着找一个面积仍为 1、方向却翻转的矩阵，用 $ad-bc$ 核验。

矩阵怎样改变平面

改变矩阵的四个数，观察单位正方形、两个基向量与面积怎样变化。

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反过来计算：由输出寻找输入

现在给定目标输出 $b$，要找输入 $x$，就得到矩阵方程 $Ax=b$。每一行是一条普通方程。例如 $$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 4& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 9\end{array}\right)$$ 表示 $$\{\begin{array}{c}{x}_1+2x_2+x_3=4,\\ 2x_1+4x_2+3x_3=9.\end{array}$$ 第二式减去第一式的两倍：$(2x_1-2x_1)+(4x_2-4x_2)+(3x_3-2x_3)=9-8$，于是 $x_3=1$。代回第一式，剩下 $x_1+2x_2=3$。任取 $x_2=t$，就得到 $$x=\left(\begin{array}{c}3-2t\\ t\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 1\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right),t\in ℝ.$$ 例如 $t=0$ 给出 $(3,0,1)$，$t=1$ 给出 $(1,1,1)$，两者代入都产生同一输出。三个未知量只有两条独立约束，还留下一个可以自由改变的方向。

这里画的是 x₃=1 这一层，横纵轴只表示 x₁、x₂，点旁仍标出完整的三个坐标。

两个标出的解之差是 $(-2,1,0)$，沿这个方向移动，输出保持不变；直线上每个点都代表一个解。

消元之所以保留全部解，是因为操作可以撤销：交换两行可以换回来，加上另一行的倍数可以再减去。右端必须跟随同样的操作。若消元得到 $0=1$，则没有解；若每个未知量都被确定，则解唯一；否则保留自由参数。这比单纯比较方程数和未知数个数更准确。

核是所有产生零输出的输入，记作 $\ker A$；秩是列向量中独立方向的个数。上例第二列是第一列的两倍，第一、第三列独立，所以秩为二；核由 $(-2,1,0)$ 的所有倍数组成。一般的维数关系及证明见线性代数，线性无关的含义见向量空间。

逆矩阵：完整撤销一次变换

若每种目标输出都对应唯一输入，就可以把计算反向进行。对方阵，这个反向过程用逆矩阵表示： $$A^{-1}A=A{A}^{-1}=I.$$ 单位矩阵 $I$ 的对角线为一，其余为零，乘上它等于不改变输入。

以 $M=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ 为例。给定输出 $(p,q)$，输入满足 $2x+y=p$、$x+y=q$。两式相减得 $x=p-q$，再代回得 $y=2q-p$。所以 $$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right),M^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right).$$ 逆矩阵的元素由反解方程得来，并非把原元素各自取倒数。给定输出 $(5,3)$，逆运算得到 $(2,1)$；代回有 $2\times 2+1=5$、$2+1=3$。

二阶矩阵 $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ 在 $ad-bc\ne 0$ 时，其逆为 $$\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right).$$ 将两矩阵相乘，非对角项分别是 $-ab+ba=0$ 和 $cd-dc=0$，两个对角项都是 $ad-bc$，除去这个数便得到 $I$。若行列式为零，两列不能提供两个独立方向，变换丢失信息，因而无法用双侧逆恢复整个平面。

逆若存在就是唯一的。若 $B,C$ 都能撤销 $A$，则 $B=B(AC)=(BA)C=C$。撤销两个连续操作还要倒序进行，因此 $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$。

可逆与容易计算并不是一回事

考虑两个很接近的方程 $$\{\begin{array}{c}x+y=2,\\ x+(1+\epsilon )y=2+\epsilon ,\end{array}\epsilon \ne 0.$$ 相减得 $\epsilon y=\epsilon$，故 $x=y=1$。如果第二个测量值增加 $\delta$，相减后变为 $\epsilon y=\epsilon +\delta$，于是 $$y=1+\frac{\delta }{\epsilon },x=1-\frac{\delta }{\epsilon }.$$ 例如 $\epsilon =0.001$，$\delta =0.0001$，右端只改变万分之一，解却从 $(1,1)$ 变成 $(0.9,1.1)$。两条约束几乎在说同一件事，细小差异决定的那个方向就很敏感。

实际求解大矩阵时，通常直接消元或分解求解，而不先算完整逆矩阵。算出答案后，应把它代回原方程检查残差；若问题本身敏感，还需结合数据误差评价解的可靠程度。投影与不精确数据的拟合继续见最小二乘法。

矩阵语言怎样形成

《九章算术》的“方程”章已经用算筹排列系数并消去未知量，排列方向与今天的行列习惯不同，但可以辨认出对应的消元步骤。MAA 的研究介绍展示了原问题及其算法。

现代术语 matrix 由 Sylvester 于 1850 年使用，Cayley 在 1858 年的论文中系统研究矩阵运算。行列式、方程求解与线性变换逐渐汇入同一套记号，形成今天的矩阵理论。MacTutor 的矩阵与行列式史记载了这些工作。

参考资料与后续阅读

• MIT OpenCourseWare，Gilbert Strang，18.06 Linear Algebra：矩阵乘法、消元、秩和逆矩阵。
• Strang，《Introduction to Linear Algebra》第 3.5 节：行变换与四个基本子空间。
• J. J. O’Connor、E. F. Robertson，Matrices and determinants：术语与理论形成史。
• 后续可读向量空间、线性代数、最小二乘法和图论。