群

群（group）是由一个集合和一种运算组成的数学结构：任意两个元素都能运算，结果仍在集合中；运算满足结合律，有单位元，每个元素都有逆元。群适合描述能够组合、能够撤销的操作，例如转动一个图形、置换一组对象，或给整数加上某个数。

理解群，可以从一个正方形出发。我们记录每次操作对顶点的影响，再从这些操作中提炼一般规则。

转动正方形：四种操作的计算

把正方形放在平面上，中心固定。令 $r$ 表示逆时针旋转九十度， $e$ 表示保持不动。连续做两次 $r$ 记为 $r^{2}$ ，三次记为 $r^{3}$ 。做四次便转完一圈，故 $r^{4} = e$ 。

保持正方形轮廓的旋转恰有四种： $C_{4} = {e, r, r^{2}, r^{3}} .$ 我们把“先后执行两个操作”作为运算，写成乘法。这里的幂表示反复做同一个操作，而不是给坐标逐项乘方。例如 $r^{3} r^{2} = r^{5} = r$ 表示总共转五个四分之一圈，效果与转一次相同。计算旋转次数时，只需保留除以四的余数，见同余。

正方形的四个旋转状态，有色顶点依次移动到相邻位置并在第四次回到原位 — 跟踪有色顶点可以区别四种旋转。颜色只帮助追踪，不属于必须固定的对称条件。

图中正方形的轮廓每次都重合，但有色顶点的位置不同，所以这四种操作彼此不同。旋转九十度的撤销操作是旋转二百七十度： $r r^{3} = r^{3} r = e$ 。旋转一百八十度则可以用自身撤销。

先做列中的操作，再做行中的操作
复合	$e$	$r$	$r^{2}$	$r^{3}$
$e$	$e$	$r$	$r^{2}$	$r^{3}$
$r$	$r$	$r^{2}$	$r^{3}$	$e$
$r^{2}$	$r^{2}$	$r^{3}$	$e$	$r$
$r^{3}$	$r^{3}$	$e$	$r$	$r^{2}$

每个格子的结果仍是四种旋转之一。整张表可用“次数相加，再取模四”独立算出。

从旋转中提取群的定义

设 $G$ 是集合， $a b$ 表示两个元素的运算。它构成群，需要以下规则。

首先是封闭性：任意 $a, b \in G$ ， $a b$ 都有唯一结果，且属于 $G$ 。对于旋转，连续旋转的效果仍是四种旋转之一。

其次是结合律：对任意三个元素， $(a b) c = a (b c) .$ 括号决定先把哪两步合并为一步，不改变三步本来的执行次序。对函数复合，两边作用在任意对象 $x$ 上都给出 $a (b (c (x)))$ ，所以满足结合律。

第三，存在单位元 $e$ ，使 $e a = a e = a$ 。第四，每个 $a$ 都有逆元 $a^{- 1}$ ，使 $a a^{- 1} = a^{- 1} a = e .$ 旋转群的单位元是不动操作，逆元是撤销该旋转的操作。

这些规则也适用于数字：整数在加法下构成群，单位元是零， $a$ 的逆元是 $- a$ ；非零实数在乘法下构成群，单位元是一，逆元是倒数。运算写作乘法只是通用记号，不要求它真的是数的乘法。

若使用非负整数与加法，正整数没有加法逆元，便不构成群；若使用所有实数与乘法，零没有乘法逆元，也不构成群。整数减法虽然封闭，却有 $(5 - 3) - 1 = 1$ 和 $5 - (3 - 1) = 3$ ，不满足结合律。每个例子都表明：集合与运算必须一起指定。

为什么群不要求交换律

在旋转群里， $a b = b a$ 成立。但把反射也加入，情况就不同了。取以原点为中心的正方形，定义 $r (x, y) = (- y, x), s (x, y) = (x, - y),$ 分别表示逆时针转九十度与关于横轴反射。约定 $r s$ 是先做右边的 $s$ ，再做左边的 $r$ 。跟踪点 $(1, 0)$ ： $(1, 0) \overset{s}{\to} (1, 0) \overset{r}{\to} (0, 1),$ $(1, 0) \overset{r}{\to} (0, 1) \overset{s}{\to} (0, - 1) .$

上下两排跟踪正方形右边中点，先反射再转动到上边，先转动再反射到下边 — 金点初始都在右边中点。上行先做 s 再做 r，下行先做 r 再做 s，最后落在不同位置。

结果不同，因此 $r s \neq s r$ 。群的定义仍然成立，只是不满足交换律。满足交换律的群称为阿贝尔群。

正方形的全部对称共有八种：四个旋转，以及四个反射。它们组成正方形的二面体群，可写成 ${e, r, r^{2}, r^{3}, s, r s, r^{2} s, r^{3} s} .$ 反射两次回到原处，所以 $s^{2} = e$ 。对一般点计算， $s r (x, y) = (- y, - x) = r^{- 1} s (x, y),$ 故 $s r = r^{- 1} s$ ：把反射移过一次旋转，旋转方向会反过来。例如 $s r^{2} = (s r) r = (r^{- 1} s) r = r^{- 1} (s r) = r^{- 2} s,$ 于是 $(r s) (r^{2} s) = r (s r^{2}) s = r r^{- 2} s s = r^{- 1} = r^{3} .$ 每一步只使用结合律和已证明的关系。少数基本操作与关系，便可以代替一张很大的运算表。

群中怎样解方程

逆元使我们能够撤销运算。若 $a x = b$ ，两边左乘 $a^{- 1}$ ： $a^{- 1} (a x) = a^{- 1} b, (a^{- 1} a) x = a^{- 1} b, x = a^{- 1} b .$ 相反，若 $x a = b$ ，应在右侧乘逆元，得到 $x = b a^{- 1}$ 。在非交换群中，乘在哪一侧会影响结果。

同样，若 $a b = a c$ ，左乘 $a^{- 1}$ 得 $b = c$ ，这称为消去律。它解释了旋转表中每行为何没有重复：若同一行两格相同，消去行元素后，两列元素也必须相同。有限群中每行与每列因此恰好各出现所有元素一次。

单位元和逆元也是唯一的。若 $e, f$ 都是单位元，则 $e = e f = f$ 。若 $b, c$ 都是 $a$ 的逆元，则 $b = b e = b (a c) = (b a) c = e c = c .$ 因此使用“该元素的逆元”不会产生歧义。

撤销两个连续操作时，顺序要反过来： $(a b)^{- 1} = b^{- 1} a^{- 1} .$ 直接检查即可看到原因： $(a b) (b^{- 1} a^{- 1}) = a (b b^{- 1}) a^{- 1} = e$ ；反向相乘也等于 $e$ 。这与矩阵乘积求逆使用同一条规律。

子群与等大的分块

群中的某些元素，如果使用原运算仍构成群，就形成子群。在正方形旋转群中，只取不动与转半圈，得到 $H = {e, r^{2}} .$ 它们相乘仍在其中，每个元素也有逆元，所以是子群。若取 ${e, r}$ ，因 $r r = r^{2}$ 不在其中，就不是子群。

把 $H$ 中每个元素左乘 $r$ ，得到另一组 $r H = {r, r^{3}}$ 。这两组恰好把四个旋转分完，而且每组都有两个元素。这种分组称为陪集。

一般地，子群 $H$ 的左陪集为 $g H = {g h : h \in H}$ 。为什么每组大小相同？映射 $h \mapsto g h$ 覆盖整个 $g H$ ；若 $g h_{1} = g h_{2}$ ，消去 $g$ 得 $h_{1} = h_{2}$ ，所以没有合并，元素逐一对应。

为什么不同组不会只重叠一部分？若 $a H$ 和 $b H$ 有共同元素，就有 $a h_{1} = b h_{2}$ ，从而 $a = b h_{2} h_{1}^{- 1}$ 。对任意 $h \in H$ ， $a h = b (h_{2} h_{1}^{- 1} h) \in b H,$ 因为括号内仍是子群元素。故 $a H \subseteq b H$ ；交换两者可得反向包含，所以两个陪集相同。

每个元素 $g$ 都属于 $g H$ ，因此陪集把整个群分成不重叠且等大的块。若群有限，就有拉格朗日定理： $| G | = [G : H] | H | .$ 竖线表示元素个数， $[G : H]$ 表示陪集个数。于是子群的大小必定整除群的大小。

一个元素 $a$ 的所有整数次幂组成循环子群；若最小正整数 $m$ 满足 $a^{m} = e$ ，则称 $m$ 为元素的阶，该子群恰有 $m$ 个元素。因此有限群中元素的阶也整除群的阶。正方形的四分之一圈旋转阶为四，半圈旋转阶为二。拉格朗日定理给出必要条件，并不保证群阶的每个因子都对应一个子群。

不同对象之间怎样保留运算

整数加法和正方形旋转可以联系起来：把整数 $n$ 送到 $r^{n}$ ，则 $r^{m + n} = r^{m} r^{n} .$ 先加整数再转换，与先分别转换再复合，效果相同。这样的映射叫群同态，一般写作 $φ (a b) = φ (a) φ (b)$ 。

这个例子中，四的倍数都被送到单位元；它们组成同态的核。两个整数得到同一旋转，当且仅当它们之差为四的倍数。如果先把整数按模四余数分为四类，再与四个旋转对应，就既保持运算，又一一对应，这称为同构。模四加法与四元素旋转群因而有相同的群结构，尽管一个用数字表示，另一个用图形操作表示。

群也可以作用在对象上。正方形的八种对称作用于四个顶点，固定一个顶点后，能把它送到任意另外的顶点。把它留在原处的对称只有两个：不动，以及沿经过它与对面顶点的对角线反射。因此八种操作按“把这个顶点送到哪里”分为四组，每组两种。这里群元素是操作，顶点是操作的对象；两者的数量无需相同。这种区分在研究对称计数时很有用，参见组合数学。

历史

十九世纪的群论与方程根的置换密切相关。Galois 用根之间允许的置换研究多项式方程何时能够用根式求解；Cauchy 系统研究置换的组合。Cayley 在 1854 年给出脱离具体置换的抽象群表述，后来的研究进一步形成现代公理体系。MacTutor 的抽象群史介绍了相关原著与贡献。

从旋转、置换到数字运算，群论保留下来的是组合和撤销的规律。正因如此，在矩阵中出现的可逆矩阵、在向量空间中出现的向量加法，也都可以用群的语言研究。

参考资料与后续阅读

Thomas W. Judson，Abstract Algebra: Theory and Applications，Definitions and Examples：群的定义与模型。
同书，Subgroups：子群与判据。
J. J. O’Connor、E. F. Robertson，Abstract groups：抽象群概念的历史。
前置可读集合、函数、同余；继续阅读矩阵、向量空间、欧拉公式。