欧拉公式

欧拉公式是复指数函数与三角函数之间的恒等式。对任意实数 $\theta$， $$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta ,i^2=-1.$$ 这里的角度采用弧度制。公式把单位圆上的旋转写成指数运算，是复数、三角函数和振动分析之间的桥梁。

单位圆上的一个点

点的横坐标是实部，纵坐标是虚部；虚数单位 i 表示纵轴方向。

复数 $z=x+iy$ 对应平面上的点 $(x,y)$。由 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ 可知，$e^{i\theta }$ 的模长等于 1。

更一般地，每个非零复数都可以写成 $z=r{e}^{i\theta }$，其中 $r=|z|>0$。角度只在相差 $2\pi k$（$k$ 为整数）的意义下确定；原点没有确定的辐角。

为什么指数会产生三角函数

复指数可由幂级数定义： $$e^z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}.$$ 该级数对每个复数绝对收敛，因此可以把偶数次项与奇数次项分别求和。代入 $z=i\theta$，利用 $i^{2k}=(-1{)}^k$ 和 $i^{2k+1}=i(-1{)}^k$，得到 $$e^{i\theta }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\theta }^{2k}}{(2k)!}+i\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\theta }^{2k+1}}{(2k+1)!}.$$ 两个实级数分别是余弦和正弦的展开式。这也说明公式中的 $e^{i\theta }$ 不是把实数指数的图像直接延长，而是使用了在复数范围内一致的函数定义。

乘法就是缩放与旋转

若 $z_1=r_1{e}^{i\alpha }$、$z_2=r_2{e}^{i\beta }$，则 $$z_1{z}_2=r_1{r}_2{e}^{i(\alpha +\beta )}.$$ 模长相乘，角度相加。例如 $1+i=\sqrt{2}{e}^{i\pi /4}$，所以 $$(1+i{)}^2=2e^{i\pi /2}=2i.$$ 直接展开也得到 $1+2i+i^2=2i$。两种算法分别突出几何结构与代数规则。

比较 $e^{i(\alpha +\beta )}$ 两种写法的实部和虚部，就能得到三角函数的和角公式。对整数 $n$，还有棣莫弗公式 $$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos (n\theta )+i\sin (n\theta ).$$

振动与特殊值

取 $\theta =\pi$ 得到欧拉恒等式 $e^{i\pi }+1=0$；取 $\theta =\pi /2$ 得到 $e^{i\pi /2}=i$。

在简谐振动中，$A\cos (\omega t+\phi )$ 可以表示为 $A{e}^{i(\omega t+\phi )}$ 的实部。这里 $A$ 为振幅，$\omega$ 为角频率，$\phi$ 为初相位。复指数把微分转化为乘以 $i\omega$，便于处理线性的振动方程；最后仍需取出所需的实物理量。

使用时的边界

• $e^{i\theta }=1$ 不只发生在 $\theta =0$，而是所有 $\theta =2\pi k$。复指数不是一一对应的函数，因此复对数不能直接照搬实对数的单值规则。
• 若角度用度数表示，应先乘以 $\pi /180$。例如 90 度对应 $e^{i\pi /2}$。
• 此处的欧拉公式与多面体的欧拉公式 $V-E+F=2$ 是不同结论；后者的拓扑背景可参见 环面。

延伸阅读

• Jiří Lebl，《Notes on Diffy Qs》：复数、复指数及线性微分方程。
• 导数 · 微分方程 · 群