环面

环面是与两个圆的乘积 $S^{1} \times S^{1}$ 同胚的曲面，通常记作 $T^{2}$ 。常见的空间模型是“甜甜圈”的表面；数学上说的环面指表面本身，包围的三维区域称为实心环面。

从一个圆旋转得到曲面

在空间中，让半径为 $r$ 的圆绕同平面内、与圆心距离为 $R$ 的轴旋转。若 $R > r > 0$ ，得到无自交的圆环面。可用两个角度描述它： $\begin{matrix} x & = (R + r \cos v) \cos u, \\ y & = (R + r \cos v) \sin u, \\ z & = r \sin v, \end{matrix} 0 \leq u, v < 2 π .$ $u$ 描述绕中心孔转一圈， $v$ 描述绕管截面转一圈。两个角度都以 $2 π$ 为周期，所以参数空间是两个圆的乘积。

一个正方形的上下边同向标为a，左右边同向标为b，表示将同名边上的对应点粘合 — 抽象环面也可以由正方形粘边得到：先粘左右边成为圆筒，再把圆筒的两端粘起来。箭头表示对应方向。

大半径三小半径一的圆环面三维网格，网格线分别沿两个周期参数方向 — 参数方程生成的圆环面。网格展示两种绕行方向；表面无自交，中心孔保持打开。

面积与体积怎样计算

沿两个参数方向的切向量互相垂直，长度分别为 $R + r \cos v$ 和 $r$ ，因此面积元为 $d A = r (R + r \cos v) d u d v .$ 对两个角度积分，余弦项在一个周期上的积分为零： $A = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2 π} r (R + r \cos v) d v d u = 4 π^{2} R r .$ 实心环面的体积为 $V = 2 π^{2} R r^{2} .$ 一种理解方式是：截面圆盘的面积 $π r^{2}$ 乘以其形心走过的路程 $2 π R$ 。这使用帕普斯形心定理，旋转轴不能穿过截面内部。

例如 $R = 3$ 、 $r = 1$ 时，面积为 $12 π^{2}$ ，体积为 $6 π^{2}$ ，量纲分别是长度的平方和立方。表面积不能被误称为“环面的体积”。

一个孔带来的拓扑差别

球面上的每条闭合曲线都能在球面内连续收缩到一点，环面上则存在不能这样收缩的闭合曲线。绕中心孔和绕管截面是两个基本方向；一个闭合路径可能沿这两个方向分别绕行多次。

在正方形粘边模型中，四个角最终成为一个顶点，两对边成为两条边，内部是一张面，因而其胞腔分解给出 $χ (T^{2}) = V - E + F = 1 - 2 + 1 = 0.$ 球面的欧拉示性数为 2。这里数的是粘合以后的顶点、边和面，不能直接把未粘合正方形的 4 个顶点、4 条边代入。

周期边界与几何区别

在二维周期模型中，粒子离开矩形右边会从左边进入，离开上边会从下边进入。这种位置识别形成平坦环面，常用于避免有限区域的边缘效应。

平坦环面与空间中的圆环面有相同的拓扑类型，却有不同的距离和曲率结构。“形状可以连续变形到一起”不意味着面积、测地线或曲率相同。参数公式中的 $R = r$ 会出现奇点， $R < r$ 则有自交，不能继续当作通常的光滑嵌入环面。

延伸阅读

Allen Hatcher，《Algebraic Topology》：基本群与曲面的胞腔结构。
积分 · 群 · 图论