矩阵

矩阵是按行与列排列的元素构成的矩形数组。一个 $m\times n$ 矩阵有 $m$ 行、$n$ 列；元素通常来自实数或复数。矩阵既可以记录数据，也可以在选定基后表示向量空间之间的线性映射。

形状决定运算是否有意义

记 $A=(a_{ij})$，下标 $i$ 表示行，$j$ 表示列。同形状矩阵可逐项相加；数乘是把每项乘以同一个数。矩阵乘法则不是逐项相乘。

若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是 $n\times p$ 矩阵，乘积 $AB$ 的形状为 $m\times p$，其元素是 $$(AB{)}_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}.$$ 中间维数必须相同。这条规则使得 $A(Bx)=(AB)x$，也就是先做 $B$ 再做 $A$ 的复合变换。

矩阵乘向量：列的线性组合

设 $$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),x=\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right).$$ 那么 $Ax=(u+v,v{)}^{𝖳}$，也可看作第一列的 $u$ 倍与第二列的 $v$ 倍相加。上标 $𝖳$ 表示转置，把行排列转为列排列。

变换 (u,v)→(u+v,v) 是水平剪切：横向基向量不变，纵向基向量移动到 (1,1)。

例如 $A(1,1{)}^{𝖳}=(2,1{)}^{𝖳}$。这种“看列向量”的方法比孤立记忆乘法口令更容易理解矩阵的作用。

次序为什么不能交换

取 $B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$，表示横向拉伸两倍。计算得到 $$AB=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right),BA=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 0& 1\end{array}\right).$$ 因此 $AB\ne BA$。先拉伸再剪切与先剪切再拉伸不是同一变换。即使两个乘积都能计算，也不能默认相等；有时反过来的乘积甚至没有定义。

可逆性、秩与信息损失

方阵 $A$ 若存在 $A^{-1}$ 使 $A^{-1}A=A{A}^{-1}=I$，称为可逆。上例的逆矩阵为 $\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$，能把剪切还原。

矩阵的秩是列向量张成空间的维数，也等于行秩。例如 $C=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$ 的第二列是第一列的两倍，秩为 1。它把平面压缩到一条直线，不同输入可能得到相同输出，所以没有逆矩阵。

对 $2\times 2$ 矩阵，行列式为 $ad-bc$。实二维情形下，其绝对值给出面积缩放倍数，符号记录定向是否翻转。上例剪切的行列式为 1，所以保面积；$C$ 的行列式为 0，面积被压为零。只有方阵才有通常意义下的行列式与双侧逆矩阵。

从方程组到数据

方程组可以写成 $Ax=b$，但实际数值求解通常直接采用消元或矩阵分解，不必先显式计算逆矩阵。矩阵还用于图的邻接关系、坐标变换、最小二乘拟合等；若仅把表格存成矩阵，仍需解释每一行、每一列与单位代表什么。

延伸阅读

• MIT OpenCourseWare，18.06 Linear Algebra：矩阵运算、列空间与线性方程组。
• 线性代数 · 向量空间 · 图论