误差线图

误差线图（error-bar plot）用一段线表示某个点估计周围的区间。单看两端的位置无法知道它表示的是原始数据的标准差、估计量的标准误、置信区间，还是仪器允许误差；必须在图注中写明对象、算法、置信水平和单位。区间的含义来自计算与假设，不来自线段的外形。

两组五次观测与两条区间

设两组独立的等候时间分别为 A：$5,6,7,8,9$ 分钟，B：$7,8,9,10,11$ 分钟。这些是合成教学数据，两组各 $n=5$。样本均值为 ${\overline{x}}_A=7$、${\overline{x}}_B=9$ 分钟。先保留图中的全部原始点，再讨论要给哪个量画区间。

以 A 组为例，五个值与均值的差为 $-2,-1,0,1,2$，平方和为 $10$。样本方差按 $n-1=4$ 作分母，故 $s_A^2=10/4=2.5{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}^2$，样本标准差 $s_A\approx 1.581$ 分钟。B 组只是整体加了两分钟，因此 $s_B^2=2.5{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}^2$。

若把每组的五次读数看作来自同一正态总体的独立样本，可用 $t$ 区间估计该组总体均值 $\mu$。标准误为 $s/\sqrt{n}=\sqrt{2.5/5}\approx 0.7071$ 分钟；自由度为 $4$ 的 $t$ 分布有 $t_{0.975,4}\approx 2.776$。于是 $$\overline{x}\pm t_{0.975,4}\frac{s}{\sqrt{n}}=\overline{x}\pm 1.963\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}.$$ 两组的 95% 置信区间约为 A 的 $[5.04,8.96]$ 与 B 的 $[7.04,10.96]$ 分钟。图中浅色小点是原始观测，较大的彩色点是均值，竖线两端才是按上述模型计算的区间。均值为 $7$ 的点与恰好为七分钟的原始点重合，但代表的对象不同。

小点保留每组五次观察，较大的点表示均值；两端带帽的彩色竖线表示在独立正态抽样假设下计算的总体均值 95% t 置信区间。纵轴单位为分钟。

标准差、标准误和置信区间不能互换

$s$ 描述组内个体读数的离散程度；$s/\sqrt{n}$ 是样本均值的估计标准误；上式再乘 $t$ 分位数，才形成指定置信水平的均值区间。若只画 $\overline{x}\pm s$，不能在图注中称它为“95% 置信区间”。反过来，均值置信区间也不是下一位参加者可能等待的范围；个体预测还包含新的个体差异，通常更宽。

95% 的频率解释对应重复采用同一种抽样与建区间方法：在模型条件成立时，长期反复得到的区间约有 95% 包含固定但未知的总体均值。它不表示已算出的这个区间内“均值有 95% 的概率”。仅五个数据点很难从图上核实正态与独立假设，故示例的区间是说明方法，不是关于真实候车系统的结论。

比较两组时计算差值区间

两条 95% 区间是否重叠，不是一条通用的显著性判据。此例若另外假设两组总体方差相同，则两个样本方差都为 $2.5$，合并方差为 $$s_p^2=\frac{(5-1)s_A^2+(5-1)s_B^2}{5+5-2}=\frac{4(2.5)+4(2.5)}{8}=2.5{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}^2.$$ 两组均值差的标准误于是为 $$\mathrm{SE}({\overline{X}}_B-{\overline{X}}_A)=s_p\sqrt{\frac{1}{5}+\frac{1}{5}}=1\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}.$$ 在独立正态、等方差模型下，自由度为 $8$ 的双侧 95% 区间为 $$({\overline{x}}_B-{\overline{x}}_A)\pm t_{0.975,8}\mathrm{SE}=2\pm 2.306=[-0.306,4.306]\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}.$$ 它包含零，表示这组小样本按该方法尚不能把总体均值差与零清楚区分。样本中的两分钟差仍是已经观察到的事实；推断结论回答的是另一个问题。若方差或抽样方式与上述假设不符，应重新选择计算方法，而不能照搬图上端点。

误差线旁应标出每组 $n$、所画区间类型与算法，并尽量保留原始点。跨时间绘制一串区间时还须说明它们是否来自同一批对象，以及是否考虑多次比较。只给一个彩色柱和两条没有定义的“±”线，无法让读者判断图在表达变异、估计精度还是测量误差。

参考资料

• NIST/SEMATECH：均值的置信区间，$t$ 区间公式与覆盖率解释。
• ggplot2：区间图形对象，位置、下界与上界的图形表示。
• 英国国家统计局：图中表示不确定性，清楚标注区间含义与读图说明。
• 相关：统计推断、方差与标准差、箱线图、统计图形语法。