欧拉公式

欧拉公式（Euler's formula）是连接复指数与三角函数的恒等式：对任意实数 $\theta$， $$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta ,i^2=-1.$$ 其中角度采用弧度制，$e$ 是自然对数的底。公式说明纯虚数指数对应复平面上的单位圆；复数乘法中的幅角相加，也因此可以用指数的加法规律表示。它不同于多面体的欧拉公式 $V-E+F=2$，后者属于几何与拓扑背景，可参看环面。

从复数坐标到旋转

复数 $z=x+iy$ 可以表示平面上的点或向量 $(x,y)$。实部 $x$ 是横坐标，虚部 $y$ 是纵坐标；“虚部”本身是实数，不是 $iy$。它的模为 $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$。若 $z\ne 0$，还可用长度 $r=|z|$ 和方向角 $\theta$ 表示为 $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$。

点的横坐标是实部，纵坐标是虚部；单位圆半径固定，角度变化记录旋转。

乘以 $i$ 将 $x+iy$ 变成 $-y+ix$，对应把坐标 $(x,y)$ 变为 $(-y,x)$，即逆时针旋转直角。再乘一次得到 $-x-iy$，旋转半周，所以 $i^2=-1$ 也有几何解释。欧拉公式把这种四分之一周的旋转推广到任意角度，而不仅是给一个特殊复数起名字。

非零复数的方向角并不唯一：增加任意整数倍的整周，表示的仍是同一个方向。因此极坐标中的 $\theta$ 只在模 $2\pi$ 的意义下确定。这个看似简单的事实，后来会成为复对数多值性的来源。

指数如何延伸到复数

在实数范围内，指数可以从微分方程、极限或幂级数建立。为了给出不循环的证明，本节选择幂级数作为复指数的定义： $$\exp (z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!},z\in ℂ.$$ 对任意固定 $z$，绝对值级数中相邻两项的比为 $|z|/(n+1)$，最终小于某个严格小于 1 的常数，因此绝对收敛。在任意有界的复数区域上，还能用同一个收敛级数作上界，保证所需的逐项运算。

这一定义在实数处与通常的自然指数一致。绝对收敛还允许对两个指数级数作柯西乘积：按总次数 $n$ 合并系数，再用二项式定理，可得 $$\exp (z)\exp (w)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^n\frac{z^k{w}^{n-k}}{k!(n-k)!}=\exp (z+w).$$ 因此复指数继承指数加法律。这个性质是经过收敛论证得到的，不能对任意条件收敛级数随意重排，也不能把类似写法直接搬到不交换的矩阵指数。

欧拉公式的级数证明

将 $z=i\theta$ 代入。偶数次幂 $i^{2k}=(-1{)}^k$，奇数次幂 $i^{2k+1}=i(-1{)}^k$。由于绝对收敛，可以把偶数项和奇数项分别相加，得到 $$\begin{array}{cc}{e}^{i\theta }& =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\theta }^{2k}}{(2k)!}+i\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\theta }^{2k+1}}{(2k+1)!}\\ & =\cos \theta +i\sin \theta .\end{array}$$ 最后一步使用正弦与余弦的泰勒展开。若三角函数从圆的几何定义出发，这些展开可以用泰勒定理证明：其各阶导数绝对值不超过 1，对固定实数角度，余项被 $|\theta {|}^{n+1}/(n+1)!$ 控制并趋零。若从级数定义正弦、余弦，最后一步则是直接识别定义。两条构建路线都可以，但不应在同一个证明中相互循环援引。

读到这里，公式中的指数、三角函数与收敛条件都有了独立含义。它不是把实变量指数公式“猜测性地代入一个虚数”，而是实指数延伸到复数后得到的可证明恒等式。复指数及其常微分方程背景可参考 Jiří Lebl，常系数二阶方程一节。

算例一：旋转一个具体向量

将复数 $1+i$ 对应的向量逆时针旋转 $\pi /3$，等于乘以 $e^{i\pi /3}=1/2+i\sqrt{3}/2$： $$(1+i)e^{i\pi /3}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}+i\frac{1+\sqrt{3}}{2}.$$ 新坐标约为 $(-0.366,1.366)$。原向量长为 $\sqrt{2}$；新坐标平方和为 $$\frac{(1-\sqrt{3}{)}^2+(1+\sqrt{3}{)}^2}{4}=2,$$ 长度没有变化。原方向角是 $\pi /4$，新方向角为 $7\pi /12$，与坐标落在第二象限一致。这三个检查——代数乘法、长度保持、象限方向——从不同角度核验了同一个旋转。

把乘法写成实坐标的形式，还会得到旋转矩阵： $$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right).$$ 这说明复数法与二维线性代数法不是两个不相干的技巧，而是同一变换的两种表示。矩阵表示便于推广到高维，复数表示在平面旋转中则更紧凑。

乘法、棣莫弗公式与单位根

指数加法律与欧拉公式一起给出 $$e^{i\alpha }{e}^{i\beta }=e^{i(\alpha +\beta )}.$$ 展开左侧并比较实部、虚部，就得到余弦与正弦的和角公式。这里比较实部是合法的，因为两个复数相等当且仅当实部相等且虚部相等；它不是把含 $i$ 的项随意丢掉。

对任意整数 $n$，连续相乘或取倒数，得到棣莫弗公式 $$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos (n\theta )+i\sin (n\theta ).$$ “整数”条件很重要：非整数幂需要选择复对数的分支，不能无条件沿用单值幂运算。对正整数 $n$，方程 $z^n=1$ 的全部解为 $z_k=e^{2\pi ik/n}$，其中 $k=0,1,\dots ,n-1$。模必须为 1，幅角乘以 $n$ 后必须是整周，这同时证明了解的形式和完整性。

算例二：解三次方程而不遗漏根

考虑 $z^3=8$。右边的模为 8，幅角可以写作 $2\pi k$。于是各根模为 2，方向角分别为 $0,2\pi /3,4\pi /3$，得到 $$z=2,-1+i\sqrt{3},-1-i\sqrt{3}.$$ 这三个点在半径为 2 的圆上等角排列。若只取实数三次根，就只得到 2；若把方向角只固定成 0 再除以 3，也会犯同样的遗漏。完整求根必须把原幅角的整周等价性先保留下来。

三个根的和为零，符合多项式 $z^3-8$ 的二次项系数为零；任意根代回三次幂都为 8。单位根在群中构成有限循环群，它们既是方程的根，也是平面上反复旋转的轨道。

振动为何可以用复指数计算

对实时间 $t$，由欧拉公式有 $A\cos (\omega t+\phi )=\mathrm{Re}(A{e}^{i(\omega t+\phi )})$。这里 $A$ 是实振幅，$\omega$ 是角频率，$\phi$ 是初相位。复函数记录正弦和余弦两个相互配合的分量，最后取实部才得到所讨论的实信号。

微分满足 $\frac{d}{dt}{e}^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t}$，因此线性常系数微分运算可转成对 $i\omega$ 的代数运算。例如 $y^{″}+{\omega }^{2}y=0$ 有复解 $e^{i\omega t}$，实部与虚部分别给出余弦和正弦解。由于方程系数为实数且是线性的，取实部与施加微分算子可以交换。

这种方法有明确边界。若方程含 $y^2$ 等非线性项，通常不能先随意复数化再取实部，因为 $\mathrm{Re}(z^2)$ 一般不等于 $(\mathrm{Re}z{)}^2$。复指数作为表示工具不意味着现实量本身具有“虚数温度”或“虚数位移”；解释所取分量是建模过程的一部分。

周期性、复对数与常见误用

取 $\theta =\pi$ 得到 $e^{i\pi }+1=0$，称为欧拉恒等式。它是一般公式的一个特殊值，而不是全部内容。取 $\theta =\pi /2$ 则得到 $e^{i\pi /2}=i$。若输入写为 90 度，指数中必须先转换成 $\pi /2$；直接写 $e^{90i}=i$ 是错误的。

一般复数指数满足 $e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$，其中 $x,y$ 为实数。因此模为 $e^x$，从不为零；只有纯虚数指数的模固定为 1。把所有复指数都想象成单位圆，会漏掉实部控制的伸缩。

周期性使复指数不是一一映射。若 $z=r{e}^{i\theta }\ne 0$，所有满足 $e^w=z$ 的值为 $$w=\log r+i(\theta +2\pi k),k\in \mathbb{Z}.$$ 选择一段角度区间可以定义一个对数分支，但这个选择会影响跨越割线时的连续性和代数规则。例如主值 $\mathrm{Log}(-1)=i\pi$，于是两次相加为 $2\pi i$，而 $\mathrm{Log}((-1)(-1))=\mathrm{Log}(1)=0$；主值对数并不总满足无条件的乘积变和。

相同频率的振动如何合成

考虑两个实信号 $\cos t$ 与 $\sqrt{3}\sin t$ 的和。利用正弦与余弦的相位关系，可以把合成结果写为 $$\cos t+\sqrt{3}\sin t=2\cos (t-\pi /3).$$ 检查时展开右边：$2\cos t\cos (\pi /3)+2\sin t\sin (\pi /3)$ 正好得到左侧。用复数表示，则对应复振幅 $1-i\sqrt{3}=2e^{-i\pi /3}$ 乘以 $e^{it}$，再取实部；模给振幅，幅角给相位。

这个例子说明，振幅不能直接按普通正数相加。两个等幅但相反相位的信号可能完全抵消，同相位才达到幅值之和。复振幅的加法保留了方向信息，使计算与平面向量加法一致。在电路或波动计算中使用相量，基本思想就是把共同频率的时间因子暂时提出来，只处理这些复振幅。

共同频率是能够这样合并为单一常复振幅的关键。若频率不同，提取一个时间因子后，剩余因子一般仍随时间变化；不能把不同频率的所有振动都压成一个固定相位的正弦。使用简洁表示时，需要说明它简化了哪部分结构，以及哪些变化仍然保留。

单位根的和为何消失

令 $\zeta =e^{2\pi i/n}$，其中整数 $n>1$。单位根之和为 $S=1+\zeta +\cdots +{\zeta }^{n-1}$。乘以 $1-\zeta$，中间项抵消，得到 $(1-\zeta )S=1-{\zeta }^n=0$。由于 $\zeta \ne 1$，所以 $S=0$。几何上，这些均匀分布的单位向量没有偏向任何方向。

更一般地，整数 $m$ 给出 $$\sum _{k=0}^{n-1}{e}^{2\pi imk/n}=\{\begin{array}{cc}n,& n\mid m,\\ 0,& n\nmid m.\end{array}$$ 若 $n$ 整除 $m$，每一项都是 1；否则公比不为 1，而第 $n$ 次幂仍为 1，仍可使用有限等比求和。这个简单计算说明不同离散旋转频率之间为何能出现相消，是离散傅里叶分析中正交关系的代数来源之一。

正交关系让一个有限数据序列可以分解为若干不同旋转频率的组合，但将这一结论推广到连续信号和无限级数，还需讨论收敛、采样与函数空间。有限求和恒等式本身没有自动回答这些分析问题；它只是提供了结构清楚的起点。

微分方程给出的另一条证明路线

如果已经独立建立复指数的求导法则，以及正弦、余弦的导数，便可令 $u(\theta )=\cos \theta +i\sin \theta$，算出 $u^{\prime }=iu$ 且 $u(0)=1$。复指数 $v(\theta )=e^{i\theta }$ 也满足相同的方程与初值。这里变量 $\theta$ 为实数，可以把复方程视为两个耦合的实方程。

要证明它们相同，不必仅说“由唯一性显然成立”。令 $w=u-v$，则 $w^{\prime }=iw,w(0)=0$。模的平方是实函数，利用共轭求导可得 $(|w{|}^2{)}^{\prime }=w^{\prime }\bar{w}+w\overline{w^{\prime }}=i|w{|}^2-i|w{|}^2=0$，所以模平方恒为零，进而 $w=0$。因此两者一致，欧拉公式再次得到证明。

这条证明强调旋转运动：速度方向总与当前位置垂直，长度保持不变。级数证明则强调不同函数的解析展开如何吻合。两种证明各有前提，不能在尚未独立证明指数导数时又用欧拉公式证明它，再返回本段证明欧拉公式；那会把相互解释误当成逻辑证明。

近似复指数时如何保留误差意识

计算机通常不真正相加无穷多项，而使用有限近似及数值算法。若直接截断指数级数，在有界的 $|z|$ 下可以给余项估计。例如沿实参数对 $e^{i\theta }$ 作泰勒展开，由各阶导数模为 1，可用积分余项得到截断到 $n$ 次后的误差不超过 $|\theta {|}^{n+1}/(n+1)!$。误差界描述的是复数平面上的距离。

对于很大的实角度，先利用周期性把角度规约到较小范围，通常比直接计算许多巨大而相消的级数项更合适。浮点数还可能让算出的模略偏离 1，这属于数值误差，不是公式的例外。若在反复旋转算法中长期累积这种偏差，就需要关注稳定性或重新归一化；精确恒等式与具体实现的有限精度应分别评价。

还有一种容易混淆的运算是复数的共轭。共轭把 $x+iy$ 变为 $x-iy$，几何上关于实轴反射；对于单位圆上的点，$\overline{e^{i\theta }}=e^{-i\theta }$，同时也是它的乘法逆元。因此逆时针旋转之后再按相同角度顺时针旋转，会回到原处。一般复数的逆元还需要除以模的平方，不能只把虚部变号。

利用共轭还能从复指数中分别提取三角函数：$\cos \theta =(e^{i\theta }+e^{-i\theta })/2$，$\sin \theta =(e^{i\theta }-e^{-i\theta })/(2i)$。相加保留实部，相减保留虚部，两个公式各有明确来源。这种改写便于处理三角乘积，但其中的 $i$ 仍遵守复数乘法；分母有虚数单位时，符号应通过 $1/i=-i$ 核验。

公式也解释了“旋转一次”与“把角度的数值平方”不同。复数乘法的平方把方向角加倍，而并不把角度平方；模则变成原模的平方。把指数规律和几何变量区分开，能避免在求根、相位和幂运算之间混用直觉。

历史：公式与命名不是同一回事

欧拉在十八世纪系统研究指数、对数、三角函数和无穷级数之间的联系。《无穷分析引论》第一卷于 1748 年出版，其原著资料与书目记录可在太平洋大学维护的 Euler Archive，E101 核验。现代写法把这些关系概括成以欧拉命名的公式。

复数三角关系也有更早的发展背景，例如棣莫弗研究的幂与角度关系。因此不能因今天公式的名字，就把整套复数、指数与三角学说成由欧拉独自创造。这里采用的是现代级数证明，它解释了公式为何成立，并不声称逐字再现十八世纪原著的证明方式。有关人物与背景可参见 MacTutor：Euler 与 De Moivre。

English overview

Euler's formula identifies a complex exponential with a point on the unit circle: its real coordinate is a cosine and its imaginary coordinate is a sine. The angle is measured in radians. A rigorous route defines the complex exponential by an absolutely convergent power series, separates its even and odd terms, and recognizes the corresponding trigonometric series. Convergence justifies these rearrangements.

Geometrically, multiplication by a unit complex number rotates the plane. Multiplication of general nonzero complex numbers combines a change of scale with addition of angles. This interpretation produces rotation matrices, angle-addition identities, integer powers, and the equally spaced roots of unity. Solving a complex power equation requires retaining all angles that differ by complete revolutions.

Complex exponentials also simplify linear differential equations because differentiation multiplies an exponential by its exponent coefficient. Taking real parts recovers real oscillations when the operator has real coefficients and is linear. Periodicity creates an important limitation: the exponential is not one-to-one, so a complex logarithm requires branch choices. The familiar identity involving e, i, pi, one, and zero is a special case of a broader relationship between analysis and planar geometry.

编者评注（AI 辅助）

本站选择把级数证明与旋转计算放在同一篇，是希望区分“成立的理由”与“好用的表示”。这是编排判断，而不是认为其他证明路线较差。单位根例子显示幅角的多值性能够产生全部解，对数例子则显示同一性质也会限制代数规则。理解公式时，如果既能解释一次旋转为何保持长度，又能指出级数重排为何合法，所得认识通常比只记住一个特殊恒等式更完整。

来源与继续阅读

• Euler Archive，E101：《Introductio in analysin infinitorum》卷一，1748：原著与出版记录。
• Jiří Lebl，《Notes on Diffy Qs》§2.2：复数、欧拉公式与常系数方程。
• MacTutor：Leonhard Euler；Abraham de Moivre：历史背景。
• 相关：导数、矩阵、群、微分方程。