圆周角定理

同一圆中，若圆周角 $\mathrm{\angle }ABC$ 和圆心角 $\mathrm{\angle }AOC$ 对着同一段不含 $B$ 的弧 $AC$，则圆周角等于该圆心角的一半。说明是哪一段弧很重要：同一条弦两侧的圆周角分别对着互补的两段弧，通常并不相等。

从等腰三角形拆角

连结 $OA,OB,OC$，其中 $OA=OB=OC$ 都是半径。先看直径 $BD$ 与弦 $BA$：因为 $B,O,D$ 共线，等腰三角形 $AOB$ 的两底角均为 $\mathrm{\angle }ABD=\alpha$。外角 $\mathrm{\angle }AOD$ 等于两个底角之和 $2\alpha$，所以圆周角 $\mathrm{\angle }ABD$ 正好是所对弧 $AD$ 的圆心角的一半。

对另一弦 $BC$ 同理得到 $\mathrm{\angle }DBC$ 与弧 $DC$ 的关系。若直径射线 $BD$ 位于 $\mathrm{\angle }ABC$ 内，就把两圆周角相加，同时把对应弧的圆心角相加；若射线在角外，则把两式相减。两种位置都得到弧 $AC$ 的圆心角是 $\mathrm{\angle }ABC$ 的两倍。这里始终取不含 $B$ 的弧，故跨过半圆时也不会误用较小圆心角。

例如不含 $B$ 的弧 $AC$ 对应 $100^{\circ }$ 的圆心角，则 $\mathrm{\angle }ABC=50^{\circ }$。同弧所对的其他圆周角也都为 $50^{\circ }$；位于弦另一侧的圆周角则对着余下的 $260^{\circ }$ 弧，度数为 $130^{\circ }$。由此还可推出圆内接四边形对角互补。

图中金色弧 $AC$ 不含 $B$，虚线半径夹成 $100^{\circ }$，实线弦在 $B$ 处夹成 $50^{\circ }$。若把 $B$ 移到金色弧上，原来的半角关系要改用另一段弧，不能沿用图中的 50 度。

弧AC不含B，圆周角ABC是同弧圆心角AOC的一半。

使用时先核对位置

圆心角若取小于 $180^{\circ }$ 的那个，但顶点 $B$ 恰位于对应小弧上，那么 $\mathrm{\angle }ABC$ 对着的是大弧，应使用大弧的圆心角。只写“同弦圆周角等于圆心角一半”而不标清弧，会在这种情形得到错误答案。切线与弦定理把圆周角与切线夹角联系起来。

参考资料

• David Joyce 编《几何原本》III.20。
• 华盛顿大学几何课程：圆周角。
• 继续阅读：圆与弧度、切线与弦定理、外接圆与外心。