欧拉公式

欧拉公式将复指数函数与三角函数联系起来，让代数、几何与分析在同一个等式中相遇。

定理 · 欧拉公式

e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ

对任意实数 $θ$ 成立，其中 $i^{2} = - 1$ 。

几何意义

在复平面上，复数 $e^{i θ}$ 表示单位圆上的一个点：它的实部是 $\cos θ$ ，虚部是 $\sin θ$ ，模长为 1。

因此，乘以 $e^{i θ}$ 可以理解为绕原点逆时针旋转角度 $θ$ 。指数的乘法法则恰好对应旋转角度的相加：

$e^{i α} e^{i β} = e^{i (α + β)} .$

这里的角度以弧度表示。随着角度变化，点在单位圆上连续运动；角度增加 $2 π$ 时，它回到原来的位置。

利用指数函数、正弦和余弦在原点的幂级数展开，可以直接看出三者的联系。对任意复数 $z$ ，指数函数可以用绝对收敛的级数定义：

$e^{z} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} .$

令 $z = i θ$ ，把偶数次项与奇数次项分开。由于 $i^{2 k} = (- 1)^{k}$ 、 $i^{2 k + 1} = i (- 1)^{k}$ ，得到

$e^{i θ} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} θ^{2 k}}{(2 k)!} + i \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} θ^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!} .$

右边两个级数分别是 $\cos θ$ 和 $\sin θ$ 的幂级数，所以欧拉公式成立。

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当 $θ = π$ 时， $\cos π = - 1$ 且 $\sin π = 0$ ，于是得到欧拉恒等式：

$e^{i π} + 1 = 0.$

当 $θ = π / 2$ 时， $e^{i π / 2} = i$ ，对应把正实轴上的单位向量旋转四分之一圈。

把欧拉公式与它的共轭形式相加或相减，可得

$\cos θ = \frac{e^{i θ} + e^{- i θ}}{2}, \sin θ = \frac{e^{i θ} - e^{- i θ}}{2 i} .$

这使三角函数问题可以转化成指数函数的运算，在振动、波动与微分方程中非常有用。