普朗克常数

普朗克常数（Planck constant）记作 $h$。光子的能量 $E$ 与频率 $\nu$ 成正比，其比例系数就是 $h$： $$E=h\nu ,h=6.62607015\times 10^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}.$$ $\nu$ 的单位赫兹等于每秒，所以右侧单位 $\mathrm{J}\mathrm{s}\cdot {\mathrm{s}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}=\mathrm{J}$。这个数值在现行 SI 中是精确的定义值。

同一频率的光子有同一能量

取真空中频率 $\nu =5.0\times 10^{14}\mathrm{H}\mathrm{z}$ 的光。单个光子的能量为 $$E=(6.62607015\times 10^{-34})(5.0\times 10^{14})=3.313035075\times 10^{-19}\mathrm{J}.$$ 元电荷给出 $1\mathrm{e}\mathrm{V}=1.602176634\times 10^{-19}\mathrm{J}$，因此该光子约有 $2.068\mathrm{e}\mathrm{V}$。频率翻倍，单光子能量也翻倍；把同频率的光源调亮，则通常是单位时间发出的光子更多，并不使每个光子的 $h\nu$ 变大。

纵横轴都从零开始。直线斜率来自 h；金色点对应正文计算的单个光子。

光电效应中的阈值

设一个教学用金属表面的逸出功为 $\varphi =2.00\mathrm{e}\mathrm{V}$，也就是电子离开表面所需的最小能量。上述 $2.068\mathrm{e}\mathrm{V}$ 的光子若按一次吸收、一次逸出的简化模型作用，逸出电子的最大动能为 $$K_{max}=h\nu -\varphi \approx 0.068\mathrm{e}\mathrm{V}.$$ 若改用频率更低、单光子能量低于 $2.00\mathrm{e}\mathrm{V}$ 的光，仅增加光强并不能在这个单光子模型中跨过阈值。实际材料还涉及表面状态、多光子过程等条件；这里的 $\varphi$ 是说明公式的假设数值，并非某一真实金属的校准数据。

与波长和约化常数的关系

真空中的电磁波满足 $\lambda \nu =c$，其中 $\lambda$ 是真空波长，$c$ 为真空光速。消去频率便得 $E=hc/\lambda$。上例频率对应的真空波长约 $600\mathrm{n}\mathrm{m}$，用任一式计算能量应一致。

量子力学中也常用约化普朗克常数 $\hslash =h/(2\pi )$。角频率 $\omega =2\pi \nu$ 时， $$E=h\nu =\hslash \omega .$$ 两种写法只是频率单位的选择不同，不能把 $h\omega$ 误作同一光子的能量。NIST 给出 $\hslash \approx 1.054571817\times 10^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$；这个小数为 $h/(2\pi )$ 的近似表示。

量纲也说明 $E=h\nu$ 和 $E=\hslash \omega$ 两种写法一致：$\nu$ 的单位是周期每秒，$\omega$ 的单位是弧度每秒；一周有 $2\pi$ 弧度，于是角频率数值是普通频率的 $2\pi$ 倍，系数必须相应除以 $2\pi$。

定义值与物理现象

2019 年后的 SI 通过固定 $h$ 的数值定义千克。实验得到的光子能量仍有测量误差；定义的是换算尺度，并非保证每次光谱测量都精确到最后一位。普朗克常数最初进入物理，是为了描述黑体辐射的能量分布；$E=h\nu$ 则使量子与光频率之间的联系可直接计算。

参考资料

• NIST SP 959，2022 CODATA 便携表，$h$、$\hslash$ 与电子伏特换算。
• BIPM，千克的 SI 定义。
• 诺贝尔奖官网，普朗克与 1900 年黑体辐射研究。
• 相关：基本物理常数、真空光速、元电荷。