精细结构常数

精细结构常数（fine-structure constant）记作 $\alpha$，是在低能电磁现象中衡量电磁相互作用强弱的无量纲常数。用 SI 量表示， $$\alpha =\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\hslash c},$$ 其中 $e$ 是元电荷，${\epsilon }_0$ 为真空介电常数，$\hslash =h/(2\pi )$，$c$ 是真空光速。各量的单位在分式中抵消。NIST 的 2022 CODATA 推荐值为 $\alpha =7.2973525643(11)\times 10^{-3}$，即 ${\alpha }^{-1}=137.035999177(21)$。

一个没有单位的数

若把米换成厘米，$c$ 的数值改变；但 $\alpha$ 不随单位换法而变。这使它特别适合比较不同实验中的电磁相互作用。常见的 $1/137$ 是便于记忆的近似，并非精确的整数倒数。NIST 数值后的括号记录实验推荐值的不确定度，不是代数式的一部分。

氢原子模型中的速度尺度

玻尔的氢原子模型虽不能把电子当作真实的小球轨道，却能看出 $\alpha$ 怎样控制尺度。假设电子质量为 $m_{\mathrm{e}}$，沿半径 $r$ 的圆轨道运动，库仑吸引提供向心力： $$\frac{m_{\mathrm{e}}{v}^2}{r}=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}.$$ 再采用该模型的基态角动量条件 $m_{\mathrm{e}}vr=\hslash$。由此 $r=\hslash /(m_{\mathrm{e}}v)$；代回前式并约去 $m_{\mathrm{e}}v$，得到 $$v=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\hslash }=\alpha c.$$ 所以模型中的速度尺度约为真空光速的 $1/137$。这里的“轨道速度”是早期模型中的辅助量，不能解读为现代量子力学给电子拍到的一条圆形运动轨迹。

同一模型的势能为 $V=-e^2/(4\pi {\epsilon }_{0}r)$。由向心力方程知 $V=-m_{\mathrm{e}}{v}^2$，故总能量 $$E=\frac{1}{2}{m}_{\mathrm{e}}{v}^2+V=-\frac{1}{2}{m}_{\mathrm{e}}{\alpha }^2{c}^2\approx -13.6\mathrm{e}\mathrm{V}.$$ 这解释了氢原子典型结合能的量级；精细能级、电子自旋及其他修正需要更完整的量子理论。

把 $v=\alpha c$ 放回角动量条件，还能求出模型的长度尺度： $$r=\frac{\hslash }{m_{\mathrm{e}}\alpha c}\approx 5.2918\times 10^{-11}\mathrm{m}.$$ 这就是玻尔半径的量级，也见于 NIST 常数表。能量依赖 ${\alpha }^2$，半径依赖 ${\alpha }^{-1}$；因此精细结构常数微小的数值决定了原子尺度与结合能尺度。上述推算限于简单的氢原子模型，氦原子等多电子体系不能原样代入。

名称与测量

“精细结构”一名来自原子光谱中细小的能级分裂。索末菲在 1916 年研究氢样原子的谱线时引入了相关的无量纲量，后来 $\alpha$ 成为电磁耦合强度的常用标记。现代精密实验可通过电子磁矩等效应推定它的数值；固定了 $e,h,c$ 的 SI 定义，并不会让 $\alpha$ 自动变成精确值，因为式中的真空电磁参数也要与实验相符。在高能过程里还需说明电磁耦合所取的能量尺度，不能把表中的低能数值无条件外推。

参考资料

• NIST SP 961，2022 CODATA 常数表，$\alpha$ 与其倒数的推荐值。
• NIST，精细结构常数与电磁作用，低能电磁耦合的物理意义。
• NIST SP 959，玻尔半径与电子质量，模型中的长度和能量核验。
• 相关：基本物理常数、元电荷、普朗克常数、真空光速。