链式法则

链式法则（chain rule）处理函数嵌套造成的变化率。若 $u=g(x)$ 在 $x=a$ 可导，$y=f(u)$ 在 $u=g(a)$ 可导，则复合函数 $y=f(g(x))$ 在 $a$ 可导，且 $$\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x).$$ 内层先把 $x$ 的变化转换为 $u$ 的变化，外层再把 $u$ 的变化转换为 $y$ 的变化，因此两个局部倍率相乘。

从一个测量链算起

设正方形边长随时间按 $s(t)=2+3t$ 厘米变化，面积 $A(s)=s^2$ 平方厘米。$t=1$ 秒时边长为 5 厘米，每增加一厘米边长，面积在该位置约增加 10 平方厘米；每秒边长增加 3 厘米，所以面积此时每秒约增加 $10\times 3=30$ 平方厘米。直接展开 $A(t)=(2+3t{)}^2$ 并求导，在 $t=1$ 也得到 30。单位的连乘是 $({\mathrm{c}\mathrm{m}}^2/\mathrm{c}\mathrm{m})(\mathrm{c}\mathrm{m}/\mathrm{s})={\mathrm{c}\mathrm{m}}^2/\mathrm{s}$。

极限中的关键补丁

直观上可把差商写成 $\Delta y/\Delta x=(\Delta y/\Delta u)(\Delta u/\Delta x)$，但 $\Delta u$ 可能在某些非零 $\Delta x$ 下恰好为零，直接约分并不构成一般证明。可导性的更稳妥表达是 $$f(u+k)-f(u)=f^{\prime }(u)k+k\eta (k),\eta (k)\to 0,$$ 并把 $\eta (0)$ 定为 0。令 $k=g(a+h)-g(a)$；因 $g$ 连续，$k\to 0$。代入后除以 $h$，第一项趋于 $f^{\prime }(g(a))g^{\prime }(a)$，余项是 $\eta (k)[g(a+h)-g(a)]/h$，趋于零。这说明即使 $k=0$，结论仍然成立。

例如 $y=\sin (x^2)$，取内层 $u=x^2$，得到 $y^{\prime }=\cos (x^2)\cdot 2x$；在 $x=0$ 导数为零。把 $\cos (x^2)$ 错写成 $\cos x$，就是在外层求导时忘记它的输入仍是 $x^2$。

多层嵌套可沿计算顺序逐层标记。若 $z(x)=\sin ((1+x^2{)}^3)$，先令 $u=1+x^2$，再令 $v=u^3$，最后 $z=\sin v$。由 $dz/dv=\cos v$、$dv/du=3u^2$、$du/dx=2x$，所以 $z^{\prime }(x)=6x(1+x^2{)}^2\cos ((1+x^2{)}^3)$。每个因子都记录一层输入变化；少掉 $2x$ 就会在 $x=0$ 给出错误的非零斜率。反向使用同一关系，可得到积分换元法。

参考资料

• OpenStax《Calculus Volume 1》§3.6：链式法则与证明。
• 同书 §5.5：链式法则与积分换元。