积分换元法

积分换元法把链式法则反向用于积分。若 $g$ 在 $[a, b]$ 连续可导， $f$ 在包含 $g ([a, b])$ 的区间连续，则 $\int_{a}^{b} f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int_{g (a)}^{g (b)} f (u) d u .$ 新变量 $u = g (x)$ 不只替换函数内部的字母，还要把局部长度的倍率 $g^{'} (x)$ 和上下限一起处理。

在原积分里找出内层的变化

计算 $\int_{0}^{1} 2 x (1 + x^{2})^{3} d x$ 。括号里的 $1 + x^{2}$ 若取为 $u$ ，它的导数恰是外面的 $2 x$ ；原上下限 $x = 0, 1$ 对应 $u = 1, 2$ ，故 $\int_{0}^{1} 2 x (1 + x^{2})^{3} d x = \int_{1}^{2} u^{3} d u = {[\frac{u^{4}}{4}]}_{1}^{2} = \frac{15}{4} .$ 直接求导 $(1 + x^{2})^{4} / 4$ ，得到 $2 x (1 + x^{2})^{3}$ ，可反向核验每一步。若忘记把下限从 0 改到 1，会得到错误的 4。

不单调时仍可用定积分公式

在 $[- 1, 1]$ 上令 $g (x) = x^{2}$ 、 $f (u) = u$ 。 $g$ 先降后升，并非一一对应，但 $\int_{- 1}^{1} x^{2} (2 x) d x = 0 = \int_{1}^{1} u d u .$ 这不是说左边每个小段的面积都为零，而是有向贡献抵消。证明直接取 $F^{'} = f$ ，由 $(F \circ g)^{'} = f (g) g^{'}$ 和微积分基本定理求端点差，不要求 $g$ 单调。若目标是无符号几何面积，必须先检查函数符号；把有向积分当面积可能错。

方向反转时，上下限与导数符号要一起变。计算 $\int_{0}^{1} 2 (1 - x) d x$ ，令 $u = 1 - x$ ，则 $d u = - d x$ ，原来的 $x = 0, 1$ 对应 $u = 1, 0$ 。于是原积分是 $- \int_{1}^{0} 2 u d u = \int_{0}^{1} 2 u d u = 1$ 。若只换元而不反转上下限，会把正的累积量算成负数。

不定积分中写 $u = g (x)$ 也应把 $d u = g^{'} (x) d x$ 配全。若在不同连通区间上积分，例如包含 $1 / x$ 的问题，积分常数可在各区间分别选择，不能未经检查跨过零点。

参考资料

OpenStax《Calculus Volume 1》§5.5：定积分与不定积分的换元。
同书 §3.6：换元的求导依据。