分部积分法

分部积分法把一个乘积的积分改写成另一个积分，来源是乘积求导。若 $u, v$ 在 $[a, b]$ 连续可导，则 $(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ ；两侧积分并移项，得到 $\int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x .$ 在不定积分记法中常写作 $\int u d v = u v - \int v d u$ 。其中 $d v$ 应对应原被积函数中确实可积的一部分。

一次计算应让剩下的积分更简单

求 $\int_{0}^{1} x e^{x} d x$ ，取 $u = x$ 、 $d v = e^{x} d x$ ，所以 $d u = d x$ 、 $v = e^{x}$ 。代入公式得 $\int_{0}^{1} x e^{x} d x = [x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x = e - (e - 1) = 1.$ 若反过来让 $u = e^{x}$ 、 $d v = x d x$ ，新积分含 $x^{2} e^{x} / 2$ ，复杂度增加。选择不是机械口诀，而是观察哪一项求导会简化、哪一项容易找原函数。

对数函数还给出另一种用法。求 $\int_{1}^{e} \log x d x$ 时，被积函数表面上只有一个因子，可把它视为 $u = \log x$ 与 $d v = d x$ 的乘积。于是 $d u = d x / x$ 、 $v = x$ ，剩下的积分变成 $\int_{1}^{e} 1 d x$ ，最后有 $[x \log x]_{1}^{e} - (e - 1) = e - (e - 1) = 1$ 。这里并不是随意“添上一个一”，而是选择一个容易积分的 $d v$ ，使对数求导后抵消分母。结果为正，也与 $\log x \geq 0$ 在此区间一致。

两次分部积分与边界项

对 $\int e^{x} \cos x d x$ ，先取 $u = \cos x$ 、 $d v = e^{x} d x$ ，得 $I = e^{x} \cos x + \int e^{x} \sin x d x$ ；再对后一个积分取 $u = \sin x$ 、 $d v = e^{x} d x$ ，得到 $\int e^{x} \sin x d x = e^{x} \sin x - I$ 。因此 $2 I = e^{x} (\sin x + \cos x)$ ， $I = \frac{e^{x}}{2} (\sin x + \cos x) + C .$ 对右边求导可直接验回 $e^{x} \cos x$ 。若是定积分，必须在每次变形中保留 $[u v]_{a}^{b}$ ；无穷端点的反常积分还须先在有限区间使用公式，再取端点极限，不能直接代入“无穷处的值”。

参考资料

OpenStax《Calculus Volume 2》§3.1：公式与算例。
同书卷一 §3.3：乘积求导公式。