反常积分

反常积分把定积分的有限区间或有界函数条件放宽，但先要明确由哪一侧、以什么极限趋近有问题的端点。对无限区间，定义 ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}f(x)dx=\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{R}f(x)dx$；对右端点 $b$ 附近无界的函数，定义 ${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{t\to b^{-}}{lim}{\int }_a^{t}f(x)dx$。只有极限为有限数时，才称该反常积分收敛。

两个 p 型门槛不能颠倒

在无限尾部，对 $p\ne 1$ 有 $${\int }_1^R{x}^{-p}dx=\frac{R^{1-p}-1}{1-p}.$$ 当 $p>1$ 时，$R^{1-p}\to 0$，积分值趋于 $1/(p-1)$；当 $p\le 1$ 时发散，其中 $p=1$ 给出 $\log R$。靠近零点则方向相反：${\int }_0^1{x}^{-p}dx$ 仅在 $p<1$ 时收敛，值为 $1/(1-p)$。因此 $1/\sqrt{x}$ 在零点无界，却仍有有限的积分 2；$1/x$ 没有。

同样在零点无界的两条曲线，截断端点移向零时累计面积的结果不同；曲线高度本身不能判断积分收敛。

内部奇点需要拆成两个极限

对 ${\int }_{-1}^{1}1/xdx$，零点在内部，定义要求分别计算 $\underset{u\to 0^{-}}{lim}{\int }_{-1}^{u}1/xdx$ 与 $\underset{v\to 0^{+}}{lim}{\int }_v^{1}1/xdx$，两者各自发散；不能把 $\log |1|-\log |-1|=0$ 当作积分结果。若特意使用对称截断 $u=-\epsilon ,v=\epsilon$，两边抵消为零，得到的是柯西主值，是另一种定义，不是通常反常积分收敛。

比较判别也很有用：若尾部 $0\le f(x)\le g(x)$ 且 ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}g$ 收敛，则 ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}f$ 收敛。理由是非负函数的截断积分随上限递增，同时被 $g$ 的有限总量控制，故有有限极限。应用时先确认不等式从某个足够大的位置开始成立，以及比较的是同一端点的行为。

参考资料

• OpenStax《Calculus Volume 2》§3.7：无限区间与奇异端点。
• 同书卷一 §5.2：普通定积分的前提。