切线与弦定理

圆在点 $A$ 的切线与过 $A$ 的弦 $AB$ 所夹的角，等于弦 $AB$ 在另一侧圆弧所对的圆周角 $\mathrm{\angle }ACB$。这通常称切线与弦定理或弦切角定理；读图时须同时标明切线取哪条射线、圆周角顶点 $C$ 位于哪段弧上。

由半径垂直切线推得

设 $O$ 为圆心，切线在 $A$ 处与半径 $OA$ 垂直。若小圆心角 $\mathrm{\angle }AOB=2\theta$，等腰三角形 $OAB$ 的底角各为 $90^{\circ }-\theta$。取与弦 $AB$ 组成小于 $90^{\circ }$ 弦切角的那条切线射线，其与 $AB$ 的角为 $$90^{\circ }-(90^{\circ }-\theta )=\theta .$$ 另一侧圆弧上的圆周角也为 $\theta$，因为圆周角定理给出同弧圆周角等于圆心角一半。其他角的位置可用补角关系得到。

例如圆心角为 $80^{\circ }$ 时，三角形 $OAB$ 的两个底角各 $50^{\circ }$，相应的弦切角为 $40^{\circ }$；另一侧圆周角也为 $40^{\circ }$。若将顶点 $C$ 放到弦的另一侧，所对的是另一段弧，角会变成 $140^{\circ }$，不应还填 40 度。

下图另取圆心角 $\mathrm{\angle }AOB=120^{\circ }$。在切点 $A$ 向上的切线射线与弦 $AB$ 夹 60 度；位于大弧 $AB$ 上的点 $C$ 也看见同一条小弧，形成 $\mathrm{\angle }ACB=60^{\circ }$。两处 60 度的对应必须连同弧的位置一并读。

弦AB对应的小弧在C的另一侧；弦切角等于该圆周角。

参考资料

• David Joyce 编《几何原本》III.32。
• Siyavula《Mathematics Grade 11》：切线与弦定理。
• 继续阅读：圆周角定理、圆与弧度、外接圆与外心。