线性相关与线性无关

给定同一个向量空间中的向量 $v_{1}, \dots, v_{k}$ ，若等式 $c_{1} v_{1} + \dots + c_{k} v_{k} = 0$ 只能由全零系数 $c_{1} = \dots = c_{k} = 0$ 实现，就称这组向量线性无关；若能找到不全为零的系数满足等式，则称线性相关。讨论前要先确定标量来自实数还是其他数域。

两组平面向量

$(1, 0), (0, 1)$ 线性无关：若 $c_{1} (1, 0) + c_{2} (0, 1) = (0, 0)$ ，比较两个坐标便得 $c_{1} = c_{2} = 0$ 。反之， $(1, 2), (2, 4)$ 线性相关，因为 $2 (1, 2) - (2, 4) = (0, 0)$ ，系数 $2, - 1$ 并非全零。

相关的含义是有一个向量可由其他向量线性表示。若上式中的某个 $c_{j} \neq 0$ ，就可移项除以 $c_{j}$ ，把 $v_{j}$ 写成其他向量的组合。因此含零向量的一组向量必相关：给零向量取系数 1、其余取 0 即可；但两条方向不同的非零向量在平面中无关。

与方程组的联系

将各向量作为列组成矩阵 $A$ ，求 $A c = 0$ 。若齐次方程仅有零解，列向量无关；若有非零解，列向量相关。对 $k$ 个未知系数，矩阵秩若小于 $k$ ，必有自由变量和非零解。这个判据连接到矩阵的秩、基与维数，也提醒我们：在 $ℝ^{2}$ 中任何三条向量必相关，因为两维空间容不下三个独立方向。

参考资料

MIT 18.06 Linear Algebra，Lecture 9: Independence, Basis, and Dimension。
MIT RES.18-011《Algebra I》：线性空间与谱定理。
继续阅读：向量空间、生成空间、基与维数。