核与像

对线性映射 $T:V\to W$，核（kernel）是被映成零的输入集合 $\ker T=\{v\in V:T(v)=0\}$；像（image）是实际能得到的输出集合 $\mathrm{im}T=\{T(v):v\in V\}$。两者都是向量子空间，但生活在不同地方：核在输入空间，像在输出空间。

一次平面压缩

取 $T(x,y)=(x+y,0)$。解 $T(x,y)=(0,0)$ 得 $x+y=0$，所以 $$\ker T=\{(t,-t):t\in ℝ\}=\mathrm{span}\{(1,-1)\}.$$ 任意输出都形如 $(s,0)$；反过来选输入 $(s,0)$ 就能得到它，因此 $$\mathrm{im}T=\{(s,0):s\in ℝ\}=\mathrm{span}\{(1,0)\}.$$ 图像上可把它看成平面沿 $(1,-1)$ 方向压向水平轴；同一输出可能来自无数输入，因为加上任意核向量都不改变输出。

判断单射和满射

线性映射 $T$ 单射当且仅当 $\ker T=\{0\}$。若 $T(u)=T(v)$，则 $T(u-v)=0$；核只有零时便得 $u=v$，反向也直接成立。满射则要求 $\mathrm{im}T=W$，即陪域每个向量都有原像。例中的 $T:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ 两项都不满足；若把陪域改成水平轴，它会成为满射，但仍不是单射。陪域的声明会影响“满射”判断。

参考资料

• MIT 18.06 Linear Algebra，Lecture 6: Column Space and Nullspace。
• MIT RES.18-011《Algebra I》：线性空间与谱定理。
• 继续阅读：线性映射、矩阵的秩、秩零化度定理。