正项级数比较判别法

研究非负数列的级数 $\sum a_{n}$ 时，部分和只会增加；问题变成它是否有上界。比较判别法把陌生的 $a_{n}$ 与已知级数 $b_{n}$ 逐项比较：若从某项起 $0 \leq a_{n} \leq b_{n}$ ，且 $\sum b_{n}$ 收敛，则 $\sum a_{n}$ 也收敛；若 $a_{n} \geq b_{n} \geq 0$ 且 $\sum b_{n}$ 发散，则 $\sum a_{n}$ 也发散。

比较怎样起作用

从第 $N$ 项开始， $\sum_{n = N}^{m} a_{n} \leq \sum_{n = N}^{m} b_{n}$ 。右边部分和有上界时，左边非减部分和也有上界，所以收敛。反向的发散判断同理；前面有限项只改变总和，不影响收敛性。

例如 $a_{n} = 1 / (n^{2} + 1)$ 满足 $0 < a_{n} < 1 / n^{2}$ ，故 $\sum a_{n}$ 收敛。对于 $c_{n} = 1 / (n + \sqrt{n})$ ，当 $n \geq 1$ 时 $n + \sqrt{n} \leq 2 n$ ，所以 $c_{n} \geq 1 / (2 n)$ ，与调和级数比较得发散。关键是比较方向：一个发散级数比目标大，不能据此断定目标也发散。

若 $a_{n}, b_{n} > 0$ 且 $a_{n} / b_{n} \to L$ ，其中 $0 < L < \infty$ ，则两级数同敛散。因为充分靠后的项满足 $(L / 2) b_{n} \leq a_{n} \leq (2 L) b_{n}$ （把常数稍放宽即可）。当极限为 0 或无穷时只能沿有用的单向比较，不能直接说“同敛散”。

参考资料