比值判别法

对非零正项级数 $\sum a_{n}$ ，若相邻项比值有极限 $L = lim_{n \to \infty} a_{n + 1} / a_{n}$ ，则 $L < 1$ 时级数收敛， $L > 1$ 时发散。若 $L = 1$ ，这个方法没有结论。它特别适合阶乘与指数相乘的项。

与等比级数比较

若 $L < 1$ ，选 $q$ 使 $L < q < 1$ 。从某项起 $a_{n + 1} \leq q a_{n}$ ，于是 $a_{N + k} \leq a_{N} q^{k}$ ；右侧的等比级数收敛，故原级数收敛。若 $L > 1$ ，从某项起 $a_{n + 1} > a_{n}$ ，项不趋零，级数不可能收敛。

例： $a_{n} = n / 2^{n}$ 时， $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{n + 1}{2 n} ⟶ \frac{1}{2},$ 故 $\sum n / 2^{n}$ 收敛。 $a_{n} = n! / 3^{n}$ 时比值为 $(n + 1) / 3 \to \infty$ ，项终将增大，故发散。

极限等于一

$\sum 1 / n$ 发散， $\sum 1 / n^{2}$ 收敛，但两者的相邻项比值都趋于 1。因此此时须改用比较、积分等方法。也可以不用假定比值极限存在，直接考察 $lim sup a_{n + 1} / a_{n} < 1$ 的充分条件；对初学者，先检查极限存在与否。

参考资料