积分判别法

设 $f:[1,\mathrm{\infty })\to [0,\mathrm{\infty })$ 连续且单调不增，并令 $a_n=f(n)$。积分判别法说 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 与 ${\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$ 同敛散。它把一排离散矩形的面积同曲线下面积比较。

上下夹住面积

在每个 $[n,n+1]$ 上有 $f(n+1)\le f(x)\le f(n)$。积分后相加，得到 $$\sum _{n=2}^{N+1}f(n)\le {\int }_1^{N+1}f(x)dx\le \sum _{n=1}^{N}f(n).$$ 左、右只差首末有限项，由正项部分和的单调性可知两者要么一起有界，要么一起无界。若省略“非负、最终单调”条件，上述逐区间比较便未必成立。

取 $f(x)=x^{-p}$。当 $p\ne 1$，${\int }_1^R{x}^{-p}dx=(R^{1-p}-1)/(1-p)$；当 $p=1$，积分是 $\log R$。令 $R\to \mathrm{\infty }$，可见 $\sum 1/n^p$ 恰在 $p>1$ 时收敛。这同时解释了调和级数为何发散。

余项估计

若级数收敛且 $R_N=\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}f(n)$，同样的矩形夹逼给出 $${\int }_{N+1}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx\le R_N\le {\int }_N^{\mathrm{\infty }}f(x)dx.$$ 例如 $\sum 1/n^2$ 在第 10 项后的余项介于 $1/11$ 与 $1/10$ 之间；这比只知道“收敛”更有数值意义。

参考资料

• MIT 18.100B Real Analysis，级数与反常积分讲义。
• MIT 18.100A Fall 2020，实分析讲义。
• 继续阅读：反常积分、正项级数比较判别法、无穷级数。