拉格朗日插值

通过 $n + 1$ 个互异节点 $(x_{i}, y_{i})$ 的次数不超过 $n$ 的多项式可以写作拉格朗日插值式 $P_{n} (x) = \sum_{i = 0}^{n} y_{i} L_{i} (x), L_{i} (x) = \prod_{0 \leq j \leq n, j \neq i} \frac{x - x_{j}}{x_{i} - x_{j}} .$ 每个基函数 $L_{i}$ 在自己的节点取 1，在其他节点取 0，所以代入 $x = x_{k}$ 时只留下 $y_{k}$ 。

两点的公式就是直线

给 $(0, 1)$ 、 $(2, 5)$ ，有 $L_{0} (x) = (x - 2) / (0 - 2) = 1 - x / 2$ ， $L_{1} (x) = x / 2$ 。因此 $P_{1} (x) = 1 (1 - x / 2) + 5 (x / 2) = 1 + 2 x$ ，代入两节点都吻合。这使“加权合成已知值”的结构一目了然。

唯一性与使用范围

若另有次数不超过 $n$ 的多项式 $Q$ 也通过这些节点，则 $P_{n} - Q$ 有 $n + 1$ 个互异零点；非零的 $n$ 次多项式最多只有 $n$ 个零点，因此 $P_{n} = Q$ 。牛顿插值给的是同一个唯一多项式，只是表示形式不同。节点互异不可删，否则上式分母可能为 0。

插值不等于外推可靠：即使在节点处完全吻合，远离节点时多项式可能偏离真实规律很远。若数据有测量噪声，强迫高次多项式逐点穿过噪声，也未必比低次拟合更合适。

参考资料