圆心的尺规确定

给出一个只画出圆周、没有标出圆心的圆，怎样找回圆心？在圆上任选两条不同方向的弦 $AB$、$CD$，分别作垂直平分线，它们的交点 $O$ 就是圆心。这是《几何原本》第三卷命题 1 的作图问题。

作图与证明

用等半径交弧分别作出 $AB$、$CD$ 的垂直平分线。真正的圆心到 $A,B$ 的距离相等，所以必在第一条线上；到 $C,D$ 的距离也相等，所以必在第二条线上。两条线不重合且相交，圆心只能是交点 $O$。反过来，这个交点由作图唯一确定，不能另取一处充当圆心。

图中两条虚线各穿过一条弦的中点并与它垂直；交点确定了 $O$。第三条弦的垂直平分线也应经过 $O$，可以作为手工作图的检验。

两条弦的垂直平分线确定圆心。

只知道一条弦并不够，圆心还可沿它的垂直平分线移动；两条平行弦的垂直平分线方向相同，也应改选不同方向的弦。垂径定理进一步解释圆心所在的垂线为什么平分弦。

参考资料

• 《几何原本》III.1：求给定圆的圆心。这里用两条弦给出等价作图与独立证明。
• 继续阅读：由圆弧恢复整圆、外接圆与外心。
• 推导关联：《几何原本》III.3：垂线与弦中点。