由圆弧恢复整圆

手中只有一段圆弧，能否画回完整的圆？只要弧上能取三个不同点 $A,B,C$，就能用尺规找出圆心并补全整圆。这是《几何原本》第三卷命题 25。

三点恢复圆心

连接 $AB$、$BC$，分别作两条弦的垂直平分线；它们的交点 $O$ 到 $A,B,C$ 等距。以 $O$ 为圆心、$OA$ 为半径画圆，即经过已知弧上的三个点。

这一步为什么没有其他答案？圆周上三个不同点不共线，一条直线与圆最多只有两个交点；于是两条不同弦的垂直平分线有唯一交点。任何通过三点的圆，其圆心必同时在这两条线上，因此只可能是 $O$。已知曲线确实是一段圆弧时，这个圆也包含整段已知弧。

图中两条短弦及虚线垂直平分线确定 $O$；补画的圆周用较淡的线表示。若测量所得三点并非精确共圆，实际绘图会有误差，不能把这种数值偏差误认为理论上的多个圆心。

取弧上三点便能恢复圆心和完整圆。

参考资料

• 《几何原本》III.25：由给定圆弧段作出完整圆。本站采用三点垂直平分线的等价构作。
• 继续阅读：圆心的尺规确定、外接圆与外心。
• 推导关联：《几何原本》III.1：由弦求圆心。