万有引力定律

牛顿万有引力定律说，两个可视为质点的物体相互吸引，力的大小与质量乘积成正比，与中心间距离平方成反比： $F = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} .$ $G$ 是万有引力常数，单位为 $N m^{2} / k g^{2}$ ； $r$ 是两个质点之间的距离。均匀球体之间且不相互重叠时，可以把质量当作集中在球心，用球心距代入。地球表面附近小物体的重力 $m g$ ，正是此式在 $r \approx R_{\oplus}$ 时的近似，故 $g \approx G M_{\oplus} / R_{\oplus}^{2}$ 。

距离的平方怎样出现

若两物体的质量不变，距离由 $r$ 变成 $2 r$ ，新力与旧力的比为 $\frac{F (2 r)}{F (r)} = \frac{G m_{1} m_{2} / (2 r)^{2}}{G m_{1} m_{2} / r^{2}} = \frac{1}{4} .$ 不是“远一倍少一半”。例如在地球表面上空一个地球半径处，距地心约为 $2 R_{\oplus}$ ，由这个近似模型得到的重力加速度约为地表的四分之一；此处的高度不是代入式中的 $r$ 。

引力给圆轨道提供向心力

设卫星质量为 $m$ ，围绕质量为 $M$ 的近球形天体作半径 $r$ 的理想圆轨道，忽略其他天体和空气阻力。引力就是向心力，因此 $G \frac{M m}{r^{2}} = m \frac{v^{2}}{r} ⟹ v = \sqrt{\frac{G M}{r}}, T = \frac{2 π r}{v} = 2 π \sqrt{\frac{r^{3}}{G M}} .$ 卫星质量 $m$ 在两边约掉：同一圆轨道上的理想轨道速率由中心天体和轨道半径决定。半径增到原来的四倍，速率降为一半，而周期变为八倍。这里讨论的是圆轨道；椭圆轨道上速度沿轨道变化，不能直接把同一个 $r$ 代入圆轨道式求全程速度。

把周期式平方，得到 $T^{2} = (4 π^{2} / G M) r^{3}$ ：对绕同一中心天体的理想圆轨道，周期平方与半径立方成正比。这与开普勒的周期规律相连，但系数中的 $M$ 也说明绕不同中心天体的卫星不能直接共用一条 $T^{2}$ — $r^{3}$ 直线。将上式反解为 $M = 4 π^{2} r^{3} / (G T^{2})$ ，观测轨道尺度和周期便能在模型条件下估计中心天体质量；这正是引力定律从“解释落体”走到“称量天体”的一步。

中心天体与一颗圆轨道卫星，切向速度箭头和指向中心的引力箭头分开标注；显示轨道半径从中心量起 — 在卫星处，引力指向中心而速度沿切线；两者方向不同，正好使速度方向不断转动。

适用尺度

牛顿定律在太阳系内许多非极端引力问题上极其准确；强引力或需要高精度的时空效应须用广义相对论修正。这个区别不改变日常近地计算中先检查距离、单位与受力对象的做法。

参考资料

OpenStax《University Physics》13.1，引力反平方定律。
OpenStax《University Physics》13.4，卫星圆轨道与轨道能量。