圆周运动与向心力

物体沿圆周匀速率行进时，速度的大小不变，方向却时时改变，所以仍有加速度。半径为 $r$、速率为 $v$ 的匀速圆周运动，其加速度指向圆心，大小为 $a_{\mathrm{c}}=v^2/r$。向心力是合力在指向圆心方向的分量，不是一种新发现的独立作用力。

从两支速度箭头推出加速度

相隔很短时间 $\Delta t$ 的两处速度都沿切线，大小都为 $v$，方向夹角为 $\Delta \theta$。速度箭头的端点组成等腰三角形；当角度很小时，速度改变量的大小近似 $|\Delta \overrightarrow{v}|\approx v\Delta \theta$，方向趋向圆心。于是 $$a_{\mathrm{c}}=\underset{\Delta t\to 0}{lim}\frac{|\Delta \overrightarrow{v}|}{\Delta t}=v\omega =\frac{v^2}{r},\omega =\frac{v}{r}.$$ 这里 $\omega$ 是角速度，单位为弧度每秒；最后一步用了弧长 $\Delta s=r\Delta \theta \approx v\Delta t$。若转一圈用时 $T$，则 $v=2\pi r/T$，也可写 $a_{\mathrm{c}}=4{\pi }^{2}r/T^2$。

保持速率不变时，变化的是速度箭头的方向；短时间极限下速度差指向圆心。

转弯时需要多少力

教学算例中，质量 $1000\mathrm{k}\mathrm{g}$ 的车以 $10\mathrm{m}/\mathrm{s}$ 沿半径 $20\mathrm{m}$ 的水平弯道匀速率转弯。所需向心加速度为 $10^2/20=5\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}$；由牛顿第二定律得水平合力 $ma=5000\mathrm{N}$。若路面水平、没有侧向推力，提供这一分量的主要是轮胎和路面的静摩擦力。路面所能提供的最大静摩擦若不足，车便不能保持这条半径和速率。

速率翻倍且半径不变，所需向心力变为四倍。若速率本身也在变化，加速度还包含沿切线的分量 $dv/dt$；此时 $v^2/r$ 仅是法向分量，不能拿它当全部加速度。

图中的速度箭头始终切向，向心加速度箭头始终指向圆心；若把它们画成同一方向，就无法解释“速率保持不变”。车进入弯道的瞬间，静摩擦使速度方向偏转，摩擦力并不是沿着速度方向把车一直向前推。对用细线拴住的球，提供向心分量的是拉力；对卫星，提供它的是引力。因此解题时应先列出真实作用力，再把它们指向圆心的分量相加，令其等于 $m{v}^2/r$；单独再加一项“向心力”会把同一作用重复计算。

参考资料

• OpenStax《College Physics》6.2，速度方向变化与向心加速度。
• OpenStax《University Physics》6.3，向心力与受力来源。