机械能守恒定律

在一个明确选定的系统里，机械能是动能 $K$ 与势能 $U$ 之和。若所有参与做功的相互作用都已用保守势能表示，且没有外界额外做功或耗散， $K + U$ 保持不变。物体下落时势能减少、动能增加，不能只看其中一项就判断“能量消失”。

从做功推到守恒

沿一条直线、质量 $m$ 不变时，牛顿第二定律给 $F = m a$ 。由 $a = (d v / d t)$ 与 $d x = v d t$ ，得到 $F d x = m v d v$ 。从初态积分到末态，合力做功便是 $W_{n e t} = \int_{v_{1}}^{v_{2}} m v d v = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} - \frac{1}{2} m v_{1}^{2} = Δ K .$ 这就是动能定理。对近地表面、以向上高度 $h$ 为坐标的重力，重力做功 $W_{g} = m g (h_{1} - h_{2})$ 。定义 $U_{g} = m g h$ 后有 $W_{g} = - Δ U_{g}$ 。若还有摩擦等未写入势能的力做功 $W_{o t h e r}$ ，则 $Δ (K + U_{g}) = W_{o t h e r} .$ 所以“机械能守恒”是 $W_{o t h e r} = 0$ 的特例；能量总守恒并不意味着机械能总守恒。

从五米高处释放

教学算例中，质量 $1 k g$ 的小球从高度 $5 m$ 静止释放，取 $g = 9.8 m / s^{2}$ ，忽略空气阻力。以地面为零势能面，初态有 $U = 49 J, K = 0$ ，落地前有 $U = 0, K = 49 J$ ，因此 $v = \sqrt{2 K / m} = \sqrt{98} \approx 9.90 m / s$ 。质量在 $m g h = m v^{2} / 2$ 中约掉，说明这一理想模型里不同质量小球落地速度相同。

若空气阻力在下落过程中做功 $- 10 J$ ，则 $K_{f i n a l} = 49 - 10 = 39 J$ ， $v = \sqrt{78} \approx 8.83 m / s$ 。这十焦耳转入空气与小球的内能等形式，不能继续用 $49 J$ 算落地速度。

势能零点可自己选：若把桌面选作零点，球的 $U_{g}$ 数值整体平移，但 $Δ U_{g} = m g (h_{2} - h_{1})$ 不变，算出的速度也不变。对弹簧，另一个保守势能是 $U_{s} = \frac{1}{2} k x^{2}$ ；无耗散的弹簧振子模型里， $\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2}$ 保持常量。换了势能形式，先确认哪种相互作用被计入系统，不能同时把弹簧力做功和弹簧势能变化重复相加。

高五米处小球的势能为四十九焦耳、动能为零；落地前势能为零、动能四十九焦耳；旁示有阻力时末动能三十九焦耳 — 两条下降路径起点相同；有阻力路径的机械能少十焦耳。

参考资料

OpenStax《University Physics》7.3，合力做功与动能改变。
OpenStax《University Physics》8.3，保守力、非保守力与机械能。