弹簧振子模型

弹簧振子模型以位移及其变化率描述质量块在弹性回复力下的运动。最基本的方程来自牛顿第二定律；加入阻尼和外力以后，同一个模型能展示持续振动、衰减振动和受迫响应。它也提供了理解二阶微分方程与相平面的一组具体例子。

从一个拉开后释放的质量块开始

设水平滑轨上的质量块质量为 $m$ ，用弹簧连接到固定端。以静止平衡位置为坐标原点，向右位移记为 $x (t)$ 。暂时忽略摩擦，把弹簧的变形限制在线性弹性范围内。胡克定律给出回复力 $- k x$ ，其中 $k > 0$ 是劲度系数。负号说明力总指向平衡位置：向右拉开时，弹簧向左拉回。

若滑轨同时有线性黏性阻力，假设阻力为 $- c x^{'}$ ，其中 $c \geq 0$ 。再施加随时间变化的水平外力 $F (t)$ ，水平受力平衡就是 $m x^{″} = - k x - c x^{'} + F (t),$ 即 $m x^{″} + c x^{'} + k x = F (t) .$ 各项均为力： $m$ 的单位是 kg， $x$ 是 m， $t$ 是 s， $k$ 是 N/m， $c$ 是 N·s/m， $F$ 是 N。重力和支持力在竖直方向抵消；若改为竖直悬挂的弹簧，以受重力后的静平衡位置为原点，常量重力也会在位移方程中抵消。OpenStax《Calculus Volume 3》§7.3

固定墙经弹簧连接质量块，位移向右，弹簧力向左，另列速度阻力及外力对应项 — 先规定坐标正向，再给每个力确定符号。阻力的方向由速度决定，不由位移决定。

下文统一用一组假设的教学参数： $m = 1 k g$ 、 $k = 4 N / m$ ，初始向右拉开 $0.1 m$ 后从静止释放，即 $x (0) = 0.1, x^{'} (0) = 0$ 。这些参数与曲线没有对应某台实测装置。

无阻尼：两个初值怎样决定振动

先令 $c = 0, F = 0$ 。方程变成 $x^{″} + 4 x = 0$ 。由于余弦和正弦求两次导数都会产生负的常数倍，通解可写为 $x (t) = A \cos 2 t + B \sin 2 t .$ 代入第一个初值， $A = x (0) = 0.1$ 。对通解求导： $x^{'} (t) = - 2 A \sin 2 t + 2 B \cos 2 t .$ 于是 $x^{'} (0) = 2 B = 0$ ，得到 $B = 0$ 。因此 $x (t) = 0.1 \cos 2 t, v (t) = x^{'} (t) = - 0.2 \sin 2 t .$ 质量块每隔 $π$ 秒重复一次状态；经过 $π / 4$ 秒时刚好穿过平衡位置，速度为 $- 0.2 m / s$ 。此时位移为零并不表示运动停止，恰恰是速度绝对值最大的时候。

二阶方程需要位移和速度两个初值。若仍从 $x (0) = 0.1$ 出发，却给它 $x^{'} (0) = 0.2$ 的初速度，就有 $B = 0.1$ ，轨迹改为 $x = 0.1 \cos 2 t + 0.1 \sin 2 t$ 。仅给初始位置，无法知道质量块是正在向右走、向左走，还是停着。

对于一般 $m, k > 0$ ，固有角频率为 $ω_{0} = \sqrt{k / m}$ ，单位为每秒；周期为 $2 π / ω_{0}$ 。令 $v = x^{'}$ ，原方程等价于两个一阶方程 $x^{'} = v, v^{'} = - \frac{k}{m} x .$ 这就把“位移—速度”平面变成自然的相平面。

能量说明轨迹为什么闭合

质量块的动能与弹簧势能之和是 $E (t) = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} .$ 沿运动求导，并把力学方程代入： $E^{'} = m v v^{'} + k x x^{'} = v (m x^{″} + k x) = F (t) v - c v^{2} .$ 这个等式逐项说明能量去向： $F v$ 是外力输入的瞬时功率， $c v^{2}$ 是阻尼消耗的功率。

无外力、无阻尼时 $E^{'} = 0$ 。本例初能量为 $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 0. 1^{2} = 0.02 J$ ，所以 $\frac{x^{2}}{0. 1^{2}} + \frac{v^{2}}{0. 2^{2}} = 1.$ 相轨迹是一条椭圆；动能最大时势能为零，位移达到两端时速度为零。图中无阻尼曲线始终沿同一条椭圆运动，能量曲线保持水平。

上部比较无阻尼椭圆和有阻尼向内螺旋，下部无阻尼能量恒为0.02焦耳而有阻尼能量下降 — 同一初值下，无阻尼保留能量，有阻尼逐步耗散能量。瞬时速度为零时，能量曲线可暂时具有水平切线。

无外力而 $c > 0$ 时， $E^{'} = - c v^{2} \leq 0$ 。不能把这个式子写成“每时每刻严格小于零”：质量块在转向点速度为零。要说明最后确实回到静止，还可用下一节的解，检验位移和速度都趋于零。

三种阻尼响应，从特征根读出

设无外力，并尝试 $x = e^{λ t}$ 。代入 $m x^{″} + c x^{'} + k x = 0$ ，约去非零的指数因子，得到 $m λ^{2} + c λ + k = 0, λ = \frac{- c \pm \sqrt{c^{2} - 4 m k}}{2 m} .$ 判别式决定解是否含正弦、是否有重根。以下仍用同一个质量、弹簧和初值。OpenStax《University Physics Volume 1》§15.5

当 $c = 1$ 时，根为 $- 1 / 2 \pm i \sqrt{15} / 2$ 。令 $ω_{d} = \sqrt{15} / 2$ ，实数解为 $e^{- t / 2} (A \cos ω_{d} t + B \sin ω_{d} t)$ 。由初位移得 $A = 0.1$ ，由初速度得 $- A / 2 + B ω_{d} = 0$ ，因此 $x (t) = 0.1 e^{- t / 2} (\cos \frac{\sqrt{15} t}{2} + \frac{1}{\sqrt{15}} \sin \frac{\sqrt{15} t}{2}) .$ 这叫欠阻尼：振动继续发生，振幅包络衰减。

当 $c = 4$ 时出现重根 $λ = - 2$ ，两个独立解为 $e^{- 2 t}$ 和 $t e^{- 2 t}$ 。写成 $x = (A + B t) e^{- 2 t}$ ，用初值得 $A = 0.1, B = 0.2$ ，所以 $x (t) = 0.1 (1 + 2 t) e^{- 2 t} .$ 这叫临界阻尼，对应 $c^{2} = 4 m k$ 。

当 $c = 5$ 时，两个根为 −1 和 −4。由 $A + B = 0.1, - A - 4 B = 0$ ，得到 $x (t) = \frac{2}{15} e^{- t} - \frac{1}{30} e^{- 4 t} .$ 这是过阻尼。两个指数都衰减，但较慢的 $e^{- t}$ 主导后期回归。

相同初位移和零初速度下，欠阻尼曲线穿过零点振动衰减，临界和过阻尼曲线保持正值趋近零 — 三条曲线共用 m=1、k=4、x(0)=0.1、v(0)=0，仅改变阻尼系数 c。

图中临界和过阻尼曲线没有越过平衡位置，这与选定的零初速度有关。若开始就给足够大的反向速度，非振荡的指数解也可能穿过零点一次。阻尼分类描述特征根和振荡模式，不能用它替代对具体初值的判断。

周期外力与共振

现在施加 $F (t) = F_{0} \cos ω t$ ，其中 $F_{0}$ 为力幅值， $ω > 0$ 为驱动角频率。若 $c > 0$ ，初始状态引起的齐次部分逐渐衰减，长期剩下与外力同频率的响应。设特解为 $x_{p} = A \cos ω t + B \sin ω t .$ 逐项求导并收集余弦、正弦系数，得到 $(k - m ω^{2}) A + c ω B = F_{0}, (k - m ω^{2}) B - c ω A = 0.$ 把两式平方相加，交叉项抵消： $((k - m ω^{2})^{2} + c^{2} ω^{2}) (A^{2} + B^{2}) = F_{0}^{2} .$ 所以稳态位移幅值为 $\sqrt{A^{2} + B^{2}} = \frac{| F_{0} |}{\sqrt{(k - m ω^{2})^{2} + c^{2} ω^{2}}} .$ 阻尼保持正值时，分母不会在正频率下变为零。共振峰的位置也不必恰等于无阻尼固有频率。幅值最大等价于分母的平方最小；对 $D (ω) = (k - m ω^{2})^{2} + c^{2} ω^{2}$ 求导，得到 $D^{'} (ω) = 2 ω (2 m^{2} ω^{2} - 2 m k + c^{2})$ 。因此，当 $c^{2} < 2 m k$ 时，峰值频率为 $\sqrt{k / m - c^{2} / (2 m^{2})}$ 。若不满足此条件，幅值在正频率上没有这样的内部峰值。OpenStax《University Physics Volume 1》§15.6

无阻尼且恰以固有频率驱动时，刚才的同频有界特解形式失效。取本例 $F_{0} = 1, c = 0, ω = 2$ ，并改用零位移、零速度初值，直接检验 $x (t) = \frac{t}{4} \sin 2 t .$ 它满足 $x (0) = x^{'} (0) = 0$ ，求两次导数再与 $4 x$ 相加，正好得到 $\cos 2 t$ 。其包络 $\pm t / 4$ 随时间增长，是理想共振的表现。

无阻尼固有频率驱动的位移曲线在正负四分之t的直线包络内振动，包络随时间增大 — 此图采用零位移、零速度初值，与前面释放实验不同；驱动力为 cos(2t) N。

长时间增长是这组理想假设的数学结果。实际弹簧若离开线性弹性范围，或者阻力不再与速度成正比，就需修改对应的力项。建模时应先检查这些机制，再把数值曲线与观测比较。对于外力复杂、力项非线性的振子，微分方程数值解提供求解方法；能量平衡仍可帮助检查计算有没有制造虚假的增能或耗能。

参考资料

OpenStax，Calculus Volume 3，§7.3 Applications，弹簧方程、初值与特征根。
OpenStax，University Physics Volume 1，§15.5 Damped Oscillations，阻尼的力学含义。
OpenStax，University Physics Volume 1，§15.6 Forced Oscillations，受迫振动与共振。