闭合电路欧姆定律

接上用电器后，电池的端电压往往比标注的电动势低。闭合电路欧姆定律用一个简单模型解释这个差别：把电源视为电动势 $ℰ$ 与内阻 $r$ 串联，再接外部电阻 $R$。稳定直流时， $$I=\frac{ℰ}{R+r},U_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}}=ℰ-Ir=IR.$$ 电动势单位也是伏特，表示电源内部非静电作用每单位电荷提供的能量，并不是一种机械力。内阻 $r$ 是近似模型参数，真实电池可能随温度、荷电状态和电流变化。

沿回路算一次电压

电荷绕回路走一周回到原处，单位电荷从电源获得的能量 $ℰ$ 要等于它在内阻和负载上交出的 $Ir+IR$。于是 $ℰ=I(r+R)$，解出上式。这个收支与电势差的符号约定相容：沿电流通过电阻时电势下降，通过理想电动势源时电势上升。

电动势十二伏分配成内阻的二伏和外电路的十伏。

十二伏电池带五欧姆负载

教学算例取 $ℰ=12\mathrm{V},r=1\Omega ,R=5\Omega$。电流为 $12/(1+5)=2\mathrm{A}$，端电压 $U_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}}=IR=10\mathrm{V}$；电池内部压降是 $Ir=2\mathrm{V}$，相加为 $12\mathrm{V}$。外部负载功率 $I^{2}R=20\mathrm{W}$，内部发热 $I^{2}r=4\mathrm{W}$，电源提供 $ℰI=24\mathrm{W}$，功率收支一致。

断开电路时 $I=0$，理想电压表测得的开路端电压接近 $ℰ$；接入负载后不能仍用 $12\mathrm{V}$ 除以 $5\Omega$ 求电流，因为这样漏掉了内阻。若把 $R$ 缩小到接近零，简单模型预测电流接近 $ℰ/r$，实际短路还涉及导线、电池内部变化与发热危险，模型不用于指导实际操作。

固定 $ℰ,r$ 时，负载功率是 $P_R=I^{2}R={ℰ}^{2}R/(R+r{)}^2$。对 $R>0$ 求导，导数的符号由 $r-R$ 决定，因此理想模型的最大负载功率发生在 $R=r$。这并非“电池使用时最好让负载等于内阻”：此时内阻与负载各耗掉一半电源功率，内部发热明显。最大功率与高效率是不同的设计目标，尤其不能把固定电阻模型外推到可能过热的真实电池。

参考资料

• OpenStax《University Physics》10.1，电动势、内阻与端电压。
• OpenStax《University Physics》10.3，回路电压收支。