抛体运动

把球斜向上抛出后，若在飞行中忽略空气阻力，球只受重力。取抛出点为原点、水平向右为 $x$ 正向、竖直向上为 $y$ 正向。重力只使竖直速度改变，因此水平和竖直方向可用同一个时间 $t$ 分别计算，再合成为一条轨迹；这就是抛体运动的基本模型。

两个方向共用同一时钟

初速度大小为 $v_{0}$ ，与水平方向夹角为 $θ$ 。初速度分量是 $v_{0 x} = v_{0} \cos θ$ 、 $v_{0 y} = v_{0} \sin θ$ 。由于 $a_{x} = 0$ 、 $a_{y} = - g$ ，逐方向使用匀变速直线运动的公式，得到 $x (t) = v_{0} \cos θ t, y (t) = v_{0} \sin θ t - \frac{1}{2} g t^{2} .$ 把第一式解为 $t = x / (v_{0} \cos θ)$ 并代入第二式（要求 $\cos θ \neq 0$ ），可把轨迹直接写成 $y = x \tan θ - \frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2} \cos^{2} θ} .$ 二次项的系数为负，因此轨迹向下弯。速度却沿切线： $v_{x} = v_{0} \cos θ$ 始终不变， $v_{y} = v_{0} \sin θ - g t$ 到最高点才变为零；最高点的总速度并不为零。

斜抛轨迹从原点升到五米高的顶点再回到同一高度；虚线显示顶点的水平位置，顶点处速度水平、加速度向下 — 同一时刻的水平位移和竖直位移组成轨迹点；顶点处只有竖直速度为零。

同高度落地的完整算例

取 $v_{0} = 20 m / s$ 、 $θ = 3 0^{\circ}$ ，为便于心算取 $g = 10 m / s^{2}$ 。竖直初速度为 $10 m / s$ ，水平速度为 $10 \sqrt{3} m / s$ 。最高点满足 $v_{y} = 10 - 10 t = 0$ ，故 $t = 1 s$ 、最大高度 $y = 10 (1) - 5 (1)^{2} = 5 m$ 。回到抛出高度时，由 $0 = 10 t - 5 t^{2}$ 除去 $t = 0$ 的出发时刻，飞行时间为 $2 s$ ；射程是 $x = 10 \sqrt{3} \times 2 = 20 \sqrt{3} m \approx 34.6 m$ 。

若落点高于或低于起点，就不能直接套同高度的飞行时间和射程公式，应先在 $y (t)$ 中代入实际落点高度、选取正的时间根，再计算 $x (t)$ 。空气阻力明显时， $a_{x}$ 不再为零，轨迹也不再严格是上述抛物线。

参考资料

OpenStax《University Physics》4.3，分量、轨迹与模型条件。
OpenStax《University Physics》3.4，恒定加速度下的位置与速度关系。