匀变速直线运动

匀变速直线运动指在选定惯性参考系内，沿一条直线运动且加速度 $a$ 为常量。速度每过相同的时间改变相同的量；这不等于速度保持不变。汽车起步和短时间自由落体常可近似这样描述，但现实驾驶的加速度通常会分段变化。

从加速度到位置

把计时起点取为 $t=0$，初速度为 $v_0$、初位置为 $x_0$。由 $a=dv/dt$ 且 $a$ 为常数，从零时刻积分到 $t$ 得 $$v(t)-v_0={\int }_0^{t}ad\tau =at,v(t)=v_0+at.$$ 再由 $dx/dt=v_0+at$ 积分，得到 $$x(t)-x_0={\int }_0^t(v_0+a\tau )d\tau =v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2.$$ 这里 $\tau$ 只是积分中的时间变量，避免与终点时间 $t$ 混淆。图上的位移也是速度—时间直线下的梯形有向面积：高为 $t$，两条平行边是 $v_0$ 和 $v$，故 $\Delta x=(v_0+v)t/2$。把 $t=(v-v_0)/a$ 代入（$a\ne 0$）并整理，得 $v^2-v_0^2=2a\Delta x$；$a=0$ 时原式仍成立。

矩形给出 v0t，三角形给出二分之一 at²；相加是位移。

起步距离

教学算例中，小车以 $v_0=2\mathrm{m}/\mathrm{s}$ 出发，保持 $a=4/3\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}$ 三秒。末速度 $v=2+(4/3)\times 3=6\mathrm{m}/\mathrm{s}$，位移 $2\times 3+\frac{1}{2}(4/3)\times 9=12\mathrm{m}$。用梯形复算为 $(2+6)\times 3/2=12\mathrm{m}$。两种算法相合，是因为这段速度图确实为直线。

若小车先加速两秒、再匀速一秒，就必须分别求两段位移并相加；把第一段的 $a$ 套在全程会高估位移。速度与加速度中的一般积分式不要求加速度恒定，而本页的三个简式要求。

自由落体是同一个方程

在近地面短距离内忽略空气阻力，并取向上为正方向，脱手后的小球加速度约为 $a=-g$，其中 $g\approx 9.8\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}$。若从离地 $19.6\mathrm{m}$ 处静止释放，取地面为 $y=0$，则 $y(t)=19.6-\frac{1}{2}(9.8)t^2$。令 $y(t)=0$ 得 $t=2.0\mathrm{s}$；落地前速度 $v=-gt=-19.6\mathrm{m}/\mathrm{s}$，负号表示向下。落地接触地面后，受力条件改变，就不能继续把 $a=-g$ 延伸到碰撞过程中。

如果初速度向上，仍可在上升、最高点和下降阶段使用同一式；最高点只是 $v=0$ 的瞬间，加速度依旧向下。拿“最高点速度为零”当作“最高点加速度为零”，会把速度与速度变化混淆。

参考资料

• OpenStax《University Physics》3.4，恒加速度运动方程。
• OpenStax《University Physics》3.5，自由落体近似及坐标方向。