简谐运动

弹簧上的物体偏离平衡位置后，弹簧把它拉回；越偏离，回复力越大。若位移 $x$ 从平衡位置量起，回复力满足 $F=-kx$（$k>0$），且没有摩擦或外部驱动，这个理想系统的运动是简谐运动。负号表示力指向平衡位置，而不是表示力的大小为负。

从回复力到周期

对质量不变的物体用牛顿第二定律，得到 $m{d}^{2}x/d{t}^2=-kx$。令 $\omega =\sqrt{k/m}$，单位是 $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s}$，方程成为 $d^{2}x/d{t}^2=-{\omega }^{2}x$。余弦函数求两次导数会回到原函数并多出一个负号和 ${\omega }^2$，所以可取 $$x(t)=A\cos (\omega t+\varphi ),v(t)=-A\omega \sin (\omega t+\varphi ).$$ 其中 $A\ge 0$ 是振幅，$\varphi$ 由初始位置与速度决定。余弦自变量每增加 $2\pi$，运动重复一次；因此 $T=2\pi /\omega =2\pi \sqrt{m/k}$，频率 $f=1/T$。这个周期式只对线性回复力和理想无阻尼模型成立。

两曲线相差四分之一个周期；图的纵坐标是各自归一化后的数值。

能量与一个数值例子

弹簧弹性势能是 $U=\frac{1}{2}k{x}^2$，动能是 $K=\frac{1}{2}m{v}^2$。在无耗散情况下，$K+U=\frac{1}{2}k{A}^2$ 恒定。到达 $x=\pm A$ 时 $v=0$、能量全在弹簧中；经过 $x=0$ 时势能最小、速率最大 $v_{max}=A\omega$。这些是同一守恒式在两个位置的结果，不表示力或加速度在平衡位置最大。

例如 $m=0.25\mathrm{k}\mathrm{g}$、$k=100\mathrm{N}/\mathrm{m}$、$A=0.10\mathrm{m}$，则 $\omega =\sqrt{100/0.25}=20\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s}$，$T=2\pi /20\approx 0.314\mathrm{s}$，总机械能 $\frac{1}{2}\times 100\times 0.10^2=0.50\mathrm{J}$，经过平衡位置的速率为 $2.0\mathrm{m}/\mathrm{s}$。若阻力持续耗能，振幅随时间衰减，运动就不再是这里严格的简谐解；详见弹簧振子模型。

参考资料

• OpenStax《University Physics》15.1，回复力、周期和相位。
• OpenStax《University Physics》15.2，弹性势能和动能转换。