简单随机抽样

简单随机不放回抽样（SRSWOR）从含 $N$ 个不同单位的完整抽样框中选出 $n$ 个，使每一种大小为 $n$ 的单位组合都以相同概率出现。它比“随手挑几个学生”要求更强：抽中的机制应能重复说明，并保证不重复选取同一单位。

从六个数理解抽取

设一所学校六名学生的活动时长依次是 2、4、6、8、10、12 小时，目标是六人的均值 $\overline{Y}=7$ 小时。从编号 1—6 中不放回随机抽两人，任意一对的概率都是 $1/(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2})=1/15$。若抽中时长 4 和 10，样本均值 $\overline{y}=(4+10)/2=7$；抽到 2 和 4 时则只有 3。这次恰好等于总体均值不是方法的保证，保证是所有可能样本的平均等于 7。

实施时先冻结去重后的名单和 $N$，再用可靠随机数工具一次抽取 $n$ 个不同编号，保留抽样代码、随机种子或抽取日志。若临时删去“不方便联系”的人，再从剩余名单补抽，就不再是原方案的简单随机样本。R 的 sample.int(N, n, replace = FALSE) 可执行这种编号抽取。

均值为何无偏

令 $I_i$ 表示总体第 $i$ 人是否入样，入样为 1，否则为 0。每人都出现在 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-1}{n-1})$ 个可能样本中，故 $E(I_i)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-1}{n-1})/(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n})=n/N$。把样本均值写成 $\overline{y}=n^{-1}\sum _{i=1}^N{I}_i{Y}_i$，取期望后逐项代入： $$E(\overline{y})=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{N}E(I_i)Y_i=\frac{1}{n}\frac{n}{N}\sum _{i=1}^N{Y}_i=\overline{Y}.$$ 这里的“无偏”只针对名单和记录值固定、反复按规定抽样的平均。若名单漏人或回答与时长相关，见调查中的覆盖与无回答误差。

抽样方差与有限总体修正

定义有限总体方差 $S^2=(N-1{)}^{-1}\sum _{i=1}^N(Y_i-\overline{Y}{)}^2$，抽样比例 $f=n/N$。两名不同单位同时入样的概率是 $n(n-1)/[N(N-1)]$。于是 $\mathrm{Var}(I_i)=f(1-f)$，$\mathrm{Cov}(I_i,I_j)=-f(1-f)/(N-1)$。把 $\overline{y}-\overline{Y}=n^{-1}\sum _i(I_i-f)(Y_i-\overline{Y})$ 平方取期望，并用 $\sum _i(Y_i-\overline{Y})=0$ 消去交叉和，得到 $$\mathrm{Var}(\overline{y})=(1-\frac{n}{N})\frac{S^2}{n}.$$ 括号是有限总体修正；当 $n=N$ 时已看完所有人，抽样方差为零。未知的 $S^2$ 用样本方差 $s^2=(n-1{)}^{-1}\sum _{i\in s}(Y_i-\overline{y}{)}^2$ 代入，得到方差估计 $\hat{V}(\overline{y})=(1-f)s^2/n$，要求 $n\ge 2$。

回到六人例子，总体 $S^2=14$，故真正的设计方差是 $(1-2/6)14/2=14/3$。若只看到 4、10 两个数，算得 $s^2=18$，本次方差估计为 $(1-2/6)18/2=6$。二者不同并非算错：用一个随机样本估计未知方差，本身也有波动。

规划样本量

若规划阶段估计标准差为 $S$，希望正态近似置信区间半宽不超过 $E$，先令 $z\sqrt{(1-n/N)S^2/n}\le E$，两边平方并整理得到 $$n\ge \frac{z^2{S}^2}{E^2+z^2{S}^2/N}.$$ 设 $N=1200,S=3$ 小时、$E=0.5$ 小时、$z=1.96$，上取整为 125。$S$ 若来自小样本试调查，这只是规划值；特别小的 $n$ 或偏态数据下，直接用 1.96 也未必给出准确覆盖率。具体执行前还要考虑分层、无回答和预算。

参考资料

• 加拿大统计局：《Survey Methods and Practices》，简单随机抽样与估计。
• R 官方手册：sample 与 sample.int。