分层随机抽样

分层随机抽样先把总体分成互不重叠且合起来覆盖全体的层，再在每层内分别随机抽取。年级可以成为层：既能保证每个年级有样本，也允许活动时长的分散程度不同。分层是在抽人前做的；抽完以后才按年级整理表格，不能自动继承分层设计的方差公式。

三个年级的加权平均

以下均为虚构教学数据。全市高中生三个年级人数 $N_h$ 分别是 600、400、200，总数 $N=1200$；每层抽 $n_h=60,40,20$ 人，完成者均值 ${\overline{y}}_h=5,6,8$ 小时，样本标准差 $s_h=2,3,4$ 小时。令层权重 $W_h=N_h/N$，总体均值估计为 $${\overline{y}}_{\mathrm{s}\mathrm{t}}=\sum _{h=1}^H{W}_h{\overline{y}}_h=\frac{1}{2}(5)+\frac{1}{3}(6)+\frac{1}{6}(8)=\frac{35}{6}\approx 5.833\text{ 小时}.$$ 三个层均值的简单平均是 $(5+6+8)/3=6.333$ 小时，它给每个年级相同权重，回答的是另一个问题。只有年级人数相同，二者才碰巧一致。

分层估计先算各层均值，再按总体人数份额组合。

方差从各层相加

若各层内都是简单随机抽样，且不同层独立，$f_h=n_h/N_h$，则 $$\mathrm{Var}({\overline{y}}_{\mathrm{s}\mathrm{t}})=\sum _h{W}_h^2(1-f_h)\frac{S_h^2}{n_h}.$$ 证明只需把 ${\overline{y}}_{\mathrm{s}\mathrm{t}}-\overline{Y}=\sum _h{W}_h({\overline{y}}_h-{\overline{Y}}_h)$ 展开平方。层间抽取独立，交叉项的期望为零；每个平方项由层内简单随机抽样方差给出。用 $s_h^2$ 代 $S_h^2$ 得可计算的方差估计。本例每层抽样比例均为 0.1，三个方差贡献为 $0.015,0.0225,0.020$，和是 $0.0575$ 平方小时，标准误约 $0.240$ 小时。若完整回答、抽样设计照计划执行，正态近似 95% 区间约为 $5.833\pm 1.96(0.240)=[5.36,6.30]$ 小时；它不包含名单遗漏或无回答偏差。

样本怎样分到各层

比例分配令 $n_h\approx n{N}_h/N$，本例总样本 120 时得到 60、40、20。若各层调查成本相近、标准差 $S_h$ 已有可靠预估，希望固定 $n=\sum _h{n}_h$ 下使方差较小，可以按 $n_h\propto N_h{S}_h$ 分配，称为 Neyman 分配。本例比例为 $600(2):400(3):200(4)=3:3:2$，可取 45、45、30 人。

这个比例可从方差式推出来：其中 $\sum _h{W}_h^2{S}_h^2/N_h$ 与 $n_h$ 无关，故只需使 $\sum _h(W_h{S}_h{)}^2/n_h$ 最小。柯西不等式给出 $${\left(\sum _h{W}_h{S}_h\right)}^2\le \left(\sum _h\frac{(W_h{S}_h{)}^2}{n_h}\right)\left(\sum _h{n}_h\right).$$ 等号要求 $n_h$ 与 $W_h{S}_h$ 成正比，即与 $N_h{S}_h$ 成正比。用上面的标准差作规划值，45、45、30 的估计方差约 $0.05287$，比比例分配的 $0.0575$ 稍小。实际分配须取整数、保证每层样本足够，并考虑成本和抽样上限；若各层单人成本 $c_h$ 不同，固定总成本下的最优比例改为 $n_h\propto N_h{S}_h/\sqrt{c_h}$。

参考资料

• 加拿大统计局：《Survey Methods and Practices》，分层抽样与分配。
• 加拿大统计局：概率抽样方法概览。