基本不等式

基本不等式在两个非负数 $a, b$ 之间比较算术平均数与几何平均数： $\sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2} .$ 它最有用的地方不只是给出上界，还能说明什么时候取得等号。例如围一块长方形菜地，固定两边之和，哪一种长宽使面积最大？

从一个平方推出不等式

由于 $a, b \geq 0$ ，它们的平方根存在，并有 $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2} \geq 0 ⟹ a + b - 2 \sqrt{a b} \geq 0 ⟹ \sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2} .$ 第一步只有 $\sqrt{a} = \sqrt{b}$ 才能取等号，也就是 $a = b$ 。若两数不等，不等号严格成立。这个等号条件决定了最优方案能否达到，不能只在公式后附一句“均值不等式”。

固定周长的长方形

设菜地四边都要用围栏，周长为 24 米；令相邻两边长为 $x, y > 0$ 米，则 $x + y = 12$ 。面积 $S = x y$ ，由基本不等式得 $\sqrt{x y} \leq \frac{x + y}{2} = 6 ⟹ S = x y \leq 36 平方米 .$ 当且仅当 $x = y = 6$ 时取等号。这个方案既满足长度条件，也确实是正方形，因而 36 平方米是能达到的最大值，而不只是一个不能实现的上界。二次函数模型还会用配方在另一组围栏长度上证明同一类结论。

周长都为二十四米，六乘六的正方形面积三十六，四乘八的长方形面积三十二 — 两幅图的长宽和都为十二米；面积较大的正方形恰是基本不等式的等号情形。

反过来，若规定面积 $x y = 36$ 平方米，那么 $x + y \geq 2 \sqrt{x y} = 12$ 米，周长 $2 (x + y) \geq 24$ 米；仍在 $x = y = 6$ 取等号。这里固定的是乘积，求最小和；前一题固定和，求最大乘积。先辨认哪个量固定，才知道该把不等式用在哪个方向。

条件改变后的检查

若允许 $a = - 1, b = - 4$ ，尽管 $a b = 4$ ，左边为 2、右边为 $- 2.5$ ，原不等式不成立。两个数非负是这条实数基本不等式的前提。使用时还须检查变量约束：如果菜地限定 $x \leq 4$ ，等号方案 $x = 6$ 不可行，不能继续宣称最大面积是 36。

试算变式：周长改为 20 米，四边都需围栏。此时 $x + y = 10$ ，所以 $x y \leq 25$ ；边长均为 5 米可取等号。若三边用围栏、另一边靠墙，则约束变成 $2 x + y = 20$ ，不能仍用 $x + y = 10$ ，应重新建模。

参考资料

人民教育出版社，高中数学 A 版章节讲义目录：基本不等式所属章节。本文案例与证明独立编写。
继续阅读：二次函数模型、柯西不等式。