对数与对数函数

对数回答“底数乘方多少次得到这个数”。对 $a > 0$ 、 $a \neq 1$ 、 $x > 0$ ， $y = \log_{a} x ⟺ a^{y} = x .$ 它把指数函数的输入与输出互换。 $\log_{2} 8 = 3$ ，因为 $2^{3} = 8$ ； $\log_{2} (1 / 4) = - 2$ ，因为 $2^{- 2} = 1 / 4$ 。对数可以是负数，真数却必须为正。

运算律从指数律推出

令 $u = \log_{a} x$ 、 $v = \log_{a} y$ ，其中 $x, y > 0$ 。于是 $a^{u} = x$ 、 $a^{v} = y$ ，相乘得 $a^{u + v} = x y$ 。把它重新写成对数，就是 $\log_{a} (x y) = \log_{a} x + \log_{a} y .$ 同理， $\log_{a} (x / y) = \log_{a} x - \log_{a} y$ ， $\log_{a} (x^{r}) = r \log_{a} x$ ，其中真数仍须为正。乘法变成加法，是因为指数相乘时指数相加；切勿误写成 $\log_{a} (x + y) = \log_{a} x + \log_{a} y$ 。以 $x = y = 1$ 检查，左边 $\log_{a} 2$ 通常不为零，右边却为零。

对数函数的图像与范围

函数 $g (x) = \log_{a} x$ 的定义域为 $(0, \infty)$ ，值域为全体实数，经过 $(1, 0)$ 与 $(a, 1)$ 。当 $a > 1$ 时，它严格递增；当 $0 < a < 1$ 时，它严格递减。这些性质来自与 $y = a^{x}$ 的互逆关系：两条图像的点 $(u, v)$ 与 $(v, u)$ 关于直线 $y = x$ 对称。

二的x次方与以二为底x的对数图像关于y等于x对称，零一与一零、一二与二一、二四与四二成对应点 — 交换输入与输出后，指数图像上的点沿 y=x 镜像到对数图像。

求 $\log_{2} (x - 1)$ 的定义域，先要求真数 $x - 1 > 0$ ，所以 $x > 1$ ；即使原来的 $\log_{2} x$ 只要求 $x > 0$ ，平移后也须重新检查。 $x$ 从右侧靠近 1 时函数值向负方向无限下降，直线 $x = 1$ 是竖直渐近线，但 $x = 1$ 不在图像上。

反求经过多少次倍增

某理想化数量由 3 按每期翻倍的规律达到 24，令经历 $t$ 期： $3 \cdot 2^{t} = 24$ 。先除以 3 得 $2^{t} = 8$ ，所以 $t = \log_{2} 8 = 3$ 。把答案代回， $3 \cdot 2^{3} = 24$ 。若目标不是底数的整次幂，同样可以写成对数，例如达到 30 时 $t = \log_{2} 10$ ，这时结果不必强作整数。

练习：解 $\log_{3} (x - 2) = 2$ 。先要求 $x > 2$ ；由定义 $x - 2 = 3^{2} = 9$ ，故 $x = 11$ ，满足定义域。若有人得到 $x = - 7$ ，代回真数为负，立即可发现错误。

参考资料

OpenStax，《Precalculus 2e》，§4.3：对数与指数的互逆关系。
同书 §4.4：对数函数的图像与定义域。
继续阅读：不同函数的增长、函数的零点。