总体百分位数的估计

第 $p$ 百分位数要回答：从低到高累计，至少覆盖总体约 $p$ 比例时达到什么数值。用样本估计它之前，必须同时说明排序规则和所采用的样本分位数约定；不同软件常用的插值方式不完全相同，数值可能略有差异。

一份小样本的逐步计算

某教学样本的 9 次单程通勤分钟数从小到大为 $12,15,16,18,20,22,24,30,45$。采用经验分布函数的逆函数约定 $$\hat{Q}(p)=inf\{x:F_9(x)\ge p\},0<p\le 1.$$ 它在排序值中取第 $\lceil 9p\rceil$ 个。$p=0.75$ 时 $\lceil 6.75\rceil =7$，第七个值是 24，所以按此约定样本的 75% 分位数为 24 分钟；$p=0.5$ 时取第五个值 20，为中位数。不能把“位于 75% 分位”读作通勤时间等于总时长的 75%。

在明确采用经验分布逆函数约定后，读出样本七十五分位数为 24。

同一批数为何会得到另一种结果

有的教材或软件在排序值之间做插值。例如用 $(n+1)p$ 定位，本例的 75% 位置是 $10\times 0.75=7.5$，位于第七个 24 与第八个 30 的正中，得到 27。24 与 27 都不是数据录错，而是分位数定义不同；写结论时要连同约定报告。样本量小、尾部稀疏时，约定差异尤其明显。若 $p=0$ 或 $p=1$，还要另说端点的处理；本篇只在 $0<p\le 1$ 使用上面的逆函数定义。

从样本分位数到总体分位数

样本第七个值为 24，不表示全公司 75% 的员工一定在 24 分钟内到达。不同概率样本会给出不同的样本分位数；名单遗漏、未回答和分层比例不符还会引入偏差。对于分层随机抽样，若各层抽取比例不同，计算总体累计比例时应按各层人数加权，而不能把所有样本排成一列后当作等权总体。员工通勤时长的分层调查给出一份完整的加权案例。

百分位数与平均数回答不同问题：一名通勤 45 分钟的人会抬高平均数，却未必改变此例的 75% 分位数；若把第七个 24 改为 34 并重新排序，分位数是否变化要重新按顺序检查，不能只看被改的那个数。

练习：按本篇的经验分布逆函数约定，九个值的 $p=1/3$ 分位数是多少？$\lceil 9/3\rceil =3$，第三个值为 16 分钟。核对：不超过 16 的观测有 3 个，累计比例恰为 $1/3$。

参考资料

• OpenStax，Introductory Statistics 2e，§2.3：百分位数与数据位置。本文明确采用经验分布逆函数作为主约定。
• 继续阅读：总体分布的估计、经验分布函数图、箱线图。