数列

数列是按顺序排成的一串数，通常记为 $(a_{n})_{n \geq 1}$ 。它也可以看成定义域为正整数集的函数：编号 $n$ 是输入，第 $n$ 项 $a_{n}$ 是输出。于是 $(1, 2, 1, 2, \dots)$ 与集合 ${1, 2}$ 不同：数列保留先后次序，允许数值重复。

设一位跑者第一周跑 3 千米，以后每周比上一周多跑 2 千米。各周路程为 $3, 5, 7, 9, \dots$ 千米。只知道前四周，还不足以唯一确定以后：第五周既可以是 11，也可以因训练计划改变而是 6。数列的规律必须由明确的计算式、递推规则或其他定义给出，不能只靠“看起来像”。

通项与离散图像

若每周始终增加 2 千米，编号从 1 开始，第 $n$ 周的路程为 $a_{n} = 3 + 2 (n - 1) = 2 n + 1$ 。这个式子叫通项公式；代入任意正整数 $n$ 就能直接求该项。例如 $a_{12} = 25$ 千米。若编号从 0 开始，则同一训练日程要写成 $b_{n} = 3 + 2 n$ （ $n \geq 0$ ）；公式变了，实际数值没有变。

把周次放在横轴、路程放在纵轴，图上只有 $(1, 3), (2, 5), (3, 7), \dots$ 这些点。图中的浅色直线帮助看出“每周增加 2”，但第 2.5 周不是原数列的一项，不能把点擅自连成连续的函数值。

坐标图中整数周次对应的离散点依次为一三、二五、三七、四九，点落在一条辅助直线上，整数之间没有数列项 — 横轴只取整数周次；虚线说明项的变化规律，不表示非整数编号也有项。

递推式与初始条件

同一数列也可写成 $a_{1} = 3, a_{n + 1} = a_{n} + 2$ 。后一个式子告诉我们怎样从当前项走到下一项，叫递推式；前一个数值提供起点。缺少起点时，仅有 $a_{n + 1} = a_{n} + 2$ 会对应无数个数列，例如从 3 或从 10 出发都符合它。

有时递推比通项自然。阶梯形铺砖若每增加一层就多用一块，可先写出 $u_{1} = 1, u_{n + 1} = u_{n} + (n + 1)$ 。从 $u_{1} = 1$ 到 $u_{2} = 3$ 、 $u_{3} = 6$ ，累加得到 $u_{n} = 1 + 2 + \dots + n = n (n + 1) / 2$ 。这里“第几层”和“总共多少块”是两个不同的量：递推中的增量 $n + 1$ 正是新增一层的块数。

从项到前 n 项和

给定 $(a_{n})$ ，另定义 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ 。 $S_{n}$ 本身也是数列，但它记录的是前 $n$ 项的总量，和单项 $a_{n}$ 不能混淆。对跑步例子， $a_{4} = 9$ 千米，而前四周累计 $S_{4} = 3 + 5 + 7 + 9 = 24$ 千米；也总有 $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ （ $n \geq 2$ ）。

若每步加固定数，进入等差数列；若每步乘固定数，进入等比数列；需要前两项才能给出下一项的斐波那契数列则展示了另一种递推。研究 $n$ 无限增大时项或部分和是否靠近某个数，需进一步使用数列的极限和无穷级数。

试算。令 $c_{1} = 4, c_{n + 1} = c_{n} - 3$ 。可得 $c_{2} = 1, c_{3} = - 2, c_{4} = - 5$ ，通项 $c_{n} = 4 - 3 (n - 1)$ 。第 8 项为 $- 17$ ；前两项之和 $S_{2} = 5$ ，不是第 2 项 1。

参考资料

OpenStax《Precalculus 2e》§11.1：数列的记号、通项与递推。