数列求和方法

数列求和先看项与项之间的结构，再决定怎样改变求和次序或表达式。有限和可以逐项相加；当项数很大或用 $n$ 表示时，配对、错位相减和裂项相消能把许多项压缩成少数边界项。这些方法依靠可核对的恒等变形，不以观察到的前几项代替证明。

配对：相隔很远的项凑成定值

对等差数列，首项与末项、第二项与倒数第二项都等于 $a_{1} + a_{n}$ ，从而 $2 S_{n} = n (a_{1} + a_{n})$ 。详见等差数列的前n项和。以 $2 + 5 + 8 + \dots + 29$ 为例，公差 3，解 $2 + 3 (n - 1) = 29$ 得 $n = 10$ ，故和为 $10 (2 + 29) / 2 = 155$ 。确定项数是配对之前不可省的一步。

错位相减：让中间项抵消

对等比数列 $S_{n} = 1 + 3 + 9 + \dots + 3^{n - 1}$ ，乘 3 后各项向右错一位，相减得到 $2 S_{n} = 3^{n} - 1$ ，所以 $S_{n} = (3^{n} - 1) / 2$ 。方法的适用点是“一项乘固定数能成为下一项”，详见等比数列的前n项和。若 $q = 1$ ，相减只得到 $0 = 0$ ，须另算 $S_{n} = n a_{1}$ 。

裂项相消：把一项拆成两个相邻差

考虑 $T_{n} = \sum_{k = 1}^{n} 1 / [k (k + 1)]$ 。分式拆开为 $\frac{1}{k (k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1},$ 因为右边通分后的分子是 $(k + 1) - k = 1$ 。于是 $\begin{matrix} T_{n} & = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) \\ = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1} . \end{matrix}$ 每个内部倒数都出现一次正号、一次负号；只有两端留下。把 $n = 2$ 代入，左边为 $1 / 2 + 1 / 6 = 2 / 3$ ，右边也为 $2 / 3$ 。

方法有边界。 $1 / [k (k + 2)]$ 也可拆成 $\frac{1}{2} (1 / k - 1 / (k + 2))$ ，但相消时会留下前两项与末两项，而非简单的“首项减末项”；必须把若干项展开检查索引。有限和求出后若要令 $n$ 无界，还应另行检查极限，例如上式 $T_{n} \to 1$ ，这是对部分和数列的结论。

试算。求 $\sum_{k = 1}^{n} 2 / [(k + 1) (k + 2)]$ 。每项等于 $2 / (k + 1) - 2 / (k + 2)$ ；从 $k = 1$ 加到 $n$ ，得到 $2 / 2 - 2 / (n + 2) = 1 - 2 / (n + 2)$ 。当 $n = 1$ ，结果为 $1 / 3$ ，与原来的第一项 $2 / (2 \cdot 3)$ 相符。

参考资料

OpenStax《Precalculus》§11.4：有限和、求和记号及等差、等比级数。