基本初等函数的导数

基本初等函数的导数给出幂、指数、对数和三角函数在定义域内的瞬时变化率。先从导数中的极限定义出发，算出一批基础函数，再用导数运算法则和链式法则组合它们。下表的自变量为实数，三角函数的角用弧度；表中每条公式都只在函数可导的点使用。

函数 $f(x)$	导数 $f^{\prime }(x)$	条件
$c$（常数）	$0$	任意 $x$
$x^m$	$m{x}^{m-1}$	整数 $m\ge 1$ 时任意 $x$；负整数幂排除 $x=0$
$e^x$	$e^x$	任意 $x$
$a^x$	$a^x\ln a$	$a>0,a\ne 1$
$\ln x$	$1/x$	$x>0$
${\log }_{a}x$	$1/(x\ln a)$	$x>0,a>0,a\ne 1$
$\sin x$	$\cos x$	任意 $x$，弧度制
$\cos x$	$-\sin x$	任意 $x$，弧度制

幂函数的导数从哪里来

直接用定义算 $f(x)=x^2$。输入增加 $h$ 时， $$\frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}=2x+h(h\ne 0).$$ 让 $h\to 0$，得到 $(x^2{)}^{\prime }=2x$。几何上，在横坐标 $x=3$ 处，切线斜率是 6；从 3 增加 0.01，函数值的变化约为 $6\cdot 0.01=0.06$，精确变化 $3.01^2-3^2=0.0601$，多出的 $0.0001$ 来自 $h^2$。

由乘积法则可逐次推出 $(x^m{)}^{\prime }=m{x}^{m-1}$（正整数 $m$）。例如已知 $(x^m{)}^{\prime }=m{x}^{m-1}$，则 $(x^{m+1}{)}^{\prime }=x^m+x\cdot m{x}^{m-1}=(m+1)x^m$。负整数幂由倒数法则得到，例如 $(1/x{)}^{\prime }=-1/x^2$，但 $x=0$ 原函数无定义，谈不上那里有导数。分数幂需要先说明实数定义域；例如 $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=1/(2\sqrt{x})$ 只在 $x>0$ 成立，$x=0$ 没有有限导数。

指数和对数

自然指数 $e^x$ 的底数 $e$ 由极限选择，使它的导数仍为自己。一般底数可写成 $a^x=e^{x\ln a}$，用链式法则得到 $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$。于是 $2^x$ 在零点的斜率不是 1，而是 $\ln 2$；底数越大，在零点的相对增长率也越大。

对 $x>0$，$\ln x$ 是 $e^x$ 的反函数。设 $y=\ln x$，则 $e^y=x$；两边对 $x$ 求导，$e^y{y}^{\prime }=1$，故 $y^{\prime }=1/e^y=1/x$。改换底数 ${\log }_{a}x=\ln x/\ln a$，便得到表中的式子。这里的对数真数必须为正。

正弦、余弦与弧度

由和角公式， $$\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}=\sin x\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\frac{\sin h}{h}.$$ 在弧度制中，$\sin h/h\to 1$，而 $(\cos h-1)/h\to 0$，所以 $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$。同理 $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$。若输入改成角度数值，导数还要乘上 $\pi /180$；不说明单位便直接套用正弦求导式会得到错误的变化率。

算一个组合例子：$g(x)=2e^x-3x^2+\sin x$，由常数倍与和的法则， $$g^{\prime }(x)=2e^x-6x+\cos x.$$ 在 $x=0$，有 $g^{\prime }(0)=3$。若改成 $h(x)=\sin (2x)$，还要乘内层导数 2，得到 $h^{\prime }(x)=2\cos (2x)$。基础公式只解决“单层函数”，嵌套须沿链式法则多走一步。

试算。对 $p(x)=x^3+4\ln x$（$x>0$），有 $p^{\prime }(x)=3x^2+4/x$，所以 $p^{\prime }(1)=7$。$x=0$ 不在原函数定义域内，不能把导数式代入零点。

参考资料

• OpenStax《Calculus Volume 1》§3.3：幂与基本运算法则。
• 同书 §3.5：三角函数求导与弧度条件。
• 同书 §3.9：指数与对数的导数。