重复博弈

重复博弈（repeated game）是同一阶段博弈进行多轮；本轮的行动会进入历史，使下一轮的选择可以取决于过去。它和“把一次博弈的收益乘以轮数”不同，因为完整策略要规定每一种可能历史之后的行动。

沿用囚徒困境的教学收益：双方合作各得 3；自己背叛、对方合作得 5；自己合作、对方背叛得 0；双方背叛各得 1。单轮背叛严格占优。若每轮都能观察上一轮行动，而且博弈无限期持续，我们用折现因子 $0 < δ < 1$ 表示下一轮收益在今天的权重；从本轮起的总收益是 $u_{0} + δ u_{1} + δ^{2} u_{2} + \dots$ 。

触发策略的收益账本

考虑如下可执行的永久触发策略：此前双方都合作，就继续合作；只要发现有人背叛，此后双方始终背叛。若一直合作，一个人的现值为 $V_{C} = 3 + 3 δ + 3 δ^{2} + \dots = \frac{3}{1 - δ} .$ 若今天单方面背叛，眼前得 5，从下一轮开始双方背叛，每轮得 1，现值为 $V_{D} = 5 + δ + δ^{2} + \dots = 5 + \frac{δ}{1 - δ} .$ 继续合作至少不比背叛差，当且仅当 $\frac{3}{1 - δ} \geq 5 + \frac{δ}{1 - δ} ⟺ 3 \geq 5 - 4 δ ⟺ δ \geq \frac{1}{2} .$ 例如 $δ = 0.6$ 时，合作现值为 7.5，今天背叛后只得 $5 + 0.6 / 0.4 = 6.5$ ；若 $δ = 0.4$ ，合作现值 5，背叛后为 $5 + 0.4 / 0.6 = 5 \frac{2}{3}$ 。门槛不是一个普适常数，它来自这里的四个具体收益。

还须检查“惩罚”会不会执行。触发后的每轮，对方选 D，自己选 D 得 1、选 C 得 0；继续 D 符合自己的眼前利益。故惩罚阶段可信。在未触发的任何一轮，偏离比较与上面同型；若 $δ \geq 1 / 2$ ，一次偏离不会提高收益。对这种有折现且行动可观察的无限重复博弈，由单轮偏离检验可得到一个子博弈精炼均衡：沿均衡路径一直合作。图中的分岔表示今天的 5 必须和以后每轮少得的 2 一起核算。

重复博弈中本轮合作得到3并保持以后每轮合作3，若本轮背叛得到5但以后每轮转为双方背叛收益1；两条收益流由折现因子比较 — 一次背叛多得 2，代价是此后每轮合作收益 3 变成背叛收益 1。

已知终点的情形

若只玩已知的 $m$ 轮，且各轮都是上面的囚徒困境，最后一轮没有以后可以影响，双方选 D。倒数第二轮既然已知下一轮必为（D,D），本轮的背叛不会损失将来的合作，仍选 D。如此逐轮倒推到第一轮，得到每轮（D,D）。这是完全信息、理性与确定终点等条件下的结论。终点不确定、对方类型未知、观察有噪声，或阶段博弈另有均衡时，不能直接搬用这段倒推。

参考资料

Jonathan Levin：〈Repeated Games I: Perfect Monitoring〉，无限重复、完美监测与触发策略的均衡条件。
Osborne 与 Rubinstein：《A Course in Game Theory》作者书目页，动态博弈与均衡概念。