一阶线性微分方程

一阶线性微分方程（first-order linear differential equation）研究未知函数的一阶导数与函数本身之间的线性关系。它常出现在“持续流入，同时按现有数量流出”的问题中。下面从水箱的盐量出发，推导解法，再说明它为何适用于一般的连续系数。

水一直在流，盐量怎样变化

设水箱始终有100升液体，每分钟流入、流出各5升；流入浓度为每升2克，箱内充分混合，初始是清水。令 $M(t)$ 为 $t$ 分钟时的盐质量，单位为克。

每分钟流入的盐为 $5\times 2=10$ 克。流出液浓度与箱内相同，是 $M/100$ 克每升，因此每分钟流出的盐为 $5M/100=M/20$ 克。盐量变化率等于流入减流出： $$M^{\prime }=10-\frac{M}{20},M(0)=0.$$ 开始没有盐流出，质量以每分钟10克增加；盐量升高后，流出部分也增多。若达到200克，流出恰为每分钟10克，与流入平衡。

图中流入和流出的体积速率相等，因此液体体积保持100升；两个盐质量速率却不同，因为流入浓度固定，流出浓度随箱内盐量变化。把图上两个质量速率相减，就得到方程右侧。

先算浓度乘体积流量，再写盐质量的收支；M的单位为克。

把两个未知项合成一个导数

整理得 $M^{\prime }+M/20=10$。左侧有导数，也有函数本身。乘积求导公式提示： $$\frac{d}{dt}(e^{t/20}M)=e^{t/20}{M}^{\prime }+\frac{1}{20}{e}^{t/20}M=e^{t/20}(M^{\prime }+\frac{M}{20}).$$ 乘上 $e^{t/20}$ 后，左侧恰好变成这个乘积的导数。于是从0积分到 $t$， $$e^{t/20}M(t)-M(0)={\int }_0^{t}10e^{s/20}ds=200(e^{t/20}-1).$$ 代入初值，再除以正数 $e^{t/20}$，得到 $$M(t)=200(1-e^{-t/20}).$$ 10分钟后盐量约为78.69克；累计流入100克，其中约21.31克已随水流走。长期浓度趋于 $200/100=2$ 克每升，与流入液相同。求导可得 $M^{\prime }=10e^{-t/20}$，与 $10-M/20$ 一致，初值也为零。

一般的一阶线性方程

水箱方程中的未知量是 $M$。把未知量统一记成 $y$，一般形式为 $$y^{\prime }(t)+p(t)y(t)=q(t).$$ 已知函数 $p$ 决定随当前状态变化的那部分，$q$ 表示外加输入。水箱例中 $p=1/20,q=10$。若两系数在区间上连续，给出其中一个时刻的初值，便有该区间上的唯一解。

方程 $y^{\prime }+t^{2}y=\sin t$ 是线性的，虽然时间依赖可能相当复杂；$y^{\prime }+y^2=t$ 则不是，因为出现未知函数的平方。$y{y}^{\prime }+y=0$ 也不是所说的线性方程，因为未知函数与其导数相乘。这里的“线性”与解的图像是否笔直无关，指数曲线可以是线性微分方程的解。

若原式为 $a(t)y^{\prime }+b(t)y=c(t)$，需要先在 $a(t)\ne 0$ 的区间内除以 $a(t)$，才能识别 $p=b/a$ 与 $q=c/a$。最高阶导数的系数在哪里为零，会影响可用区间，不能在标准化时自动删去而忘记。

当 $q=0$ 时，称为齐次线性方程；否则称为非齐次。对齐次方程，解的常数倍和线性组合仍是解。对非齐次方程，两个解相减满足齐次方程，但直接相加一般不再满足原方程，因为外加项也被加了两遍。线性结构提供的是有条件的叠加规律。

怎样选择积分因子

问题的难点是 $y^{\prime }$ 与 $p(t)y$ 同时出现。乘积法则给出 $(\mu y{)}^{\prime }=\mu y^{\prime }+{\mu }^{\prime }y$。如果希望把原方程乘以 $\mu$ 后的左侧合并为这个导数，就需要 ${\mu }^{\prime }=p\mu$。因此取 $$P(t)={\int }_{t_0}^{t}p(s)ds,\mu (t)=e^{P(t)}.$$ 这里 $t_0$ 可以选初始时刻，$s$ 是积分变量。指数从不为零，且 $\mu (t_0)=1$，于是原方程等价于 $$(\mu (t)y(t){)}^{\prime }=\mu (t)q(t).$$ 水箱例的 $p=1/20$ 给出 $P=t/20$，正好恢复此前的因子。由于指数不为零，乘法及后续除法始终等价。

解公式及唯一性

对上式从 $t_0$ 到 $t$ 积分，并用初值 $y(t_0)=y_0$，得到 $$\mu (t)y(t)-y_0={\int }_{t_0}^t\mu (s)q(s)ds.$$ 所以唯一候选为 $$y(t)=e^{-P(t)}[y_0+{\int }_{t_0}^t{e}^{P(s)}q(s)ds].$$ 若 $p,q$ 在所讨论区间连续，积分函数可导，令方括号内的函数为 $B(t)$，基本定理给出 $B^{\prime }=e^{P}q$，又有 $P^{\prime }=p$。因此 $y^{\prime }=-p{e}^{-P}B+e^{-P}{B}^{\prime }=-py+q$；代入 $t=t_0$，积分为零且 $P(t_0)=0$，得到 $y_0$。因此候选确实是解，存在性得到证明。

若还有另一个解 $\tilde{y}$，两者之差 $w=y-\tilde{y}$ 满足 $w^{\prime }+pw=0$ 且 $w(t_0)=0$。乘同一个积分因子，得到 $(\mu w{)}^{\prime }=0$，所以 $\mu w$ 恒为零。由于 $\mu \ne 0$，必有 $w=0$，唯一性得到证明。这一论证不需要先知道一般非线性方程的存在唯一性定理。

上述结论适用于系数连续的整个区间：对区间内任意有限端点，积分都是有限闭子区间上的积分。即使区间无限，也不意味着解必须有界；例如 $y^{\prime }=y$ 的指数解可以一直存在而不断增大。关于本方法的教材讨论见 Jiří Lebl，§1.4。

更换初值以后，解相差多少

求解 $y^{\prime }+2y=6$，初值 $y(0)=1$。积分因子为 $e^{2t}$，因此 $$(e^{2t}y{)}^{\prime }=6e^{2t},e^{2t}y=3e^{2t}+C.$$ 解为 $y=3+C{e}^{-2t}$，初值给出 $C=-2$，所以 $y=3-2e^{-2t}$。验证时，导数为 $4e^{-2t}$，加上两倍原函数正好等于 6；初值也确为 1。

常数解 3 来自输入与衰减的平衡；指数项记录初始状态偏离平衡的程度，并随时间消失。解从 1 单调增加但始终低于 3。要求达到 2.9，解 $2e^{-2t}=0.1$，得 $t=(\log 20)/2\approx 1.498$。

若初值改为 5，则解成为 $3+2e^{-2t}$，从上方降向同一个平衡。它说明同一外力下初值影响如何随时间衰减，并为后文的稳定性分析提供最简单的例子。

解对初值和外力有多敏感

相同外力下，两组初值相差 $d_0$，对应解的差精确为 $d(t)=d_0{e}^{-P(t)}$。若在未来时间上 $p(t)\ge \alpha >0$，则 $|d(t)|\le |d_0|e^{-\alpha (t-t_0)}$，初值误差指数衰减。若 $p=-2$，误差反而按 $e^{2(t-t_0)}$ 放大。线性并不自动意味着稳定。

对常系数 $p=k>0$，如果外力又有误差 $\delta q$，且 $|\delta q(t)|\le \eta$，同初值下的响应误差满足 $$|d(t)|\le {\int }_{t_0}^t{e}^{-k(t-s)}\eta ds=\frac{\eta }{k}(1-e^{-k(t-t_0)}),t\ge t_0.$$ 这个界解释了持续的小输入误差不会无限累加，而受衰减机制限制。它也给出了量纲正确的误差规模：输入速率误差除以衰减率，才成为状态误差。

积分公式即使不能化成初等表达式，也已经给出解的表示。可以进一步使用数值积分近似其中的积分，并把系数、输入和数值误差分别记录。没有简洁闭式并不意味着该线性初值问题没有解。

系数随时间改变的例子

考虑 $y^{\prime }+(2/t)y=t$，给定 $y(1)=2$。由于系数在 0 无定义，先选择包含初始点的区间 $t>0$。积分因子可取 $t^2$，因为其对数导数为 $2/t$。于是 $$(t^{2}y{)}^{\prime }=t^3,t^{2}y=\frac{t^4}{4}+C.$$ 初值给出 $C=7/4$，故 $$y(t)=\frac{t^2}{4}+\frac{7}{4t^2},t>0.$$ 求导为 $t/2-7/(2t^3)$；再加 $(2/t)y=t/2+7/(2t^3)$，总和正好为 $t$，验证通过。该解在 $t\to 0^{+}$ 时无界，不能跨过 0 继续作为有限解。

失效边界：不能跨过最高阶系数的零点

原式 $t{y}^{\prime }=y$ 在 $t\ne 0$ 可标准化为 $y^{\prime }-(1/t)y=0$，在每个正、负区间有解 $y=Ct$。在 $t=0$，原方程要求 $y(0)=0$，但这个初始值不能确定斜率：所有 $Ct$ 都通过原点。因此若从 $t=0$ 给初值，前面的连续系数唯一性结论不适用。

反过来，给 $y(0)=1$ 则根本不可能满足原方程在零点的等式。这里既可能失去唯一性，也可能失去存在性，原因不是积分因子“算坏了”，而是最高阶系数消失后，初值问题发生了结构变化。

分离变量法与积分因子法也应区分。$y^{\prime }+p(t)y=q(t)$ 一般不能分成“只含 $y$ 的一边”和“只含 $t$ 的一边”；即便偶尔可以，除以未知函数也可能暂时排除零解。积分因子通过非零乘法处理，天然保留了齐次零解。

常数变易与叠加的另一种理解

齐次方程的解为 $y_h=C{e}^{-P(t)}$。为了处理非齐次项，让原来固定的 $C$ 变成未知函数 $C(t)$，代入 $y=C(t)e^{-P(t)}$，会发现涉及 $pC$ 的两项相消，只留下 $C^{\prime }(t)e^{-P(t)}=q(t)$。积分后正好得到相同的解公式，这就是常数变易思想在一阶情形的表现。

把解分成“齐次解加一个特解”，并不说明该分解唯一。若给特解加一个齐次解，再从齐次部分减去同一项，总解不变。真正确定的是满足给定初值的总解。对于外力 $q_1+q_2$，可以分别求相应的零初值响应后相加；初始响应只加入一次，才不会重复计算初始条件。

周期外力：瞬态如何让位给稳态

考虑 $y^{\prime }+2y=\cos t$。猜测一个同频率的特解 $y_p=A\cos t+B\sin t$，求导并比较正余弦系数，得到 $B+2A=1$ 与 $-A+2B=0$，所以 $A=2/5,B=1/5$。全部解因此为 $$y(t)=C{e}^{-2t}+\frac{2}{5}\cos t+\frac{1}{5}\sin t.$$ 若给定初值，只需代入一次确定 $C$。未来时间足够长时指数项消失，留下周期响应；其振幅为 $1/\sqrt{5}$，相对输入存在相位滞后。可以用欧拉公式把这个三角计算组织成复数代数，但实系数线性结构仍然是取实部得到解的依据。

这个例子把两个常被混淆的词分开：稳态不一定是常数状态，可以是最终保留的周期行为；瞬态也不意味着严格持续一段有限时间后突然消失，指数项只是逐渐变小。若要报告“已稳定”，应给出允许误差，例如初始项的绝对值低于某个阈值，而不是把数学极限当成某个精确截止时刻。

输入突然改变时如何接合解

若外力在某个时刻突然切换，可以在各连续区间分别求解，再把前一区间的末状态作为后一区间初值。例如 $y^{\prime }+2y=0$ 从初值零出发，在 $t=1$ 后外力改为 6，则前段 $y=0$，后段为 $y=3(1-e^{-2(t-1)})$。函数在切换时连续，但左导数为 0、右导数为 6，因此在该时刻没有通常的双侧导数。

这是分段经典解：它在切换时刻连续，并在两侧各自满足方程。有限输入的跃变改变变化率，积分累计得到的状态仍连续。

正性与比较：有些结论无需算出积分

由于积分因子始终为正，若初值非负且未来外力 $q(t)\ge 0$，解公式中的括号也非负，因此状态保持非负。这个结论与 $p$ 的正负无关；系数会改变增长或衰减的速度，却不会在这些条件下把状态凭空推到负值。

类似地，同一个系数函数下，若一个问题的初值和外力都不小于另一个，则把两个方程相减并用积分公式，得到前者的解也始终不小于后者。这是比较原理的一阶线性版本。对于流量、质量等不应为负的量，它既能提供定性信息，也能检查数值结果：若严格满足这些前提的精确模型给出负状态，应先排查公式、代码或步长。

积分因子本身并不唯一，乘任意非零常数仍是积分因子。最终解中这个倍数会从两边消去，不产生新的物理参数。采用从初始时刻出发的定积分，只是固定归一化，让初值项写得清楚；采用不定积分也能得到相同结果，但应避免把无关的积分常数重复计入。

历史与后续发展

一阶方程的系统求解伴随十七、十八世纪微积分发展。雅各布·伯努利在 1695 年提出后来以其命名的方程，莱布尼茨于 1697 年说明可用变量替换将它化为线性方程；有关书目线索见 MacTutor：Bernoulli's equation。这体现了线性方程作为可归约目标的早期地位。

积分因子还用于更广泛的微分方程。欧拉在十八世纪进一步发展其应用，相关工作记于 Euler 的学术传记。

来源与继续阅读

• Jiří Lebl，《Notes on Diffy Qs》§1.4：线性方程与积分因子。
• MacTutor：Earliest Known Uses，Bernoulli's equation：1695、1697 年历史线索。
• MacTutor 收录，Euler 学术传记：积分因子方法的十八世纪发展。
• 先修：导数、积分；相关：微分方程、洛吉斯蒂模型、向量空间。