指数分布

指数分布（exponential distribution）是一种定义在非负实数上的连续概率分布，常用于描述恒定到达强度下等待下一事件的时间。它的核心性质是：已经等了一段时间而事件尚未发生后，剩余等待的分布仍与开始时相同。这个性质需要明确的模型条件，不能仅因某个量叫“等待”或“寿命”就直接采用。

从数请求，转为等请求

沿用泊松分布中的客服模型：新请求按照强度 $r = 2$ 次／分钟的齐次泊松过程到达。令 $N (t)$ 表示开始观察后 $t$ 分钟内的到达次数，令 $T$ 表示从开始观察到第一个新请求的时间。

这两个变量问的是不同问题。 $N (1) = 3$ 表示第一分钟来了三次； $T = 0.4$ 表示第一个请求在 0.4 分钟时到达。这里讨论的等待是“等待请求出现”，并非顾客已经进入队列之后“等待客服开始处理”的时间；后者还受服务速度、队列长度等因素影响。

合成到达时刻零点四、零点五五、零点九和一点六分钟；从零开始首等待为零点四分钟，从一分钟重新观察后等待下次到达为零点六分钟 — 同一段合成记录上的两种观察起点。横轴上点的位置是到达时刻，有色区间是从所选起点到下一到达的等待长度。

图中人为构造的记录与泊松分布词条共用同一组到达时刻。上行从 0 开始，首个请求在 0.4 分钟；下行从确定的时刻 1 分钟重新观察，下一请求在 1.6 分钟，所以这一次等了 0.6 分钟。两段实际等待不相等，并不妨碍模型说它们在各自观察起点使用相同的概率规律。图中的数值只是示意，不用来估计到达强度。

现在先不管第一个请求何时具体出现，只问“到 $t$ 时还没等到”的概率。“还没等到”恰好表示这段时间里一次到达也没有，所以

${T > t} = {N (t) = 0}, t \geq 0.$

齐次泊松模型给出 $N (t) \sim Pois (r t)$ 。对 $t > 0$ ，把泊松概率公式中的次数取为零，得到

$P (T > t) = e^{- r t} \frac{(r t)^{0}}{0!} = e^{- r t} .$

在 $t = 0$ 处两侧都等于 1，所以结论延续到起点。这条等式把计数分布与等待分布连接起来：两个写法描述了同一个“零到达”事件。关于泊松过程与指数到达间隔的对应，可参见 Pishro-Nik 教材的过程章节。§11.1.2：Arrival and Interarrival Times

生存函数、分布函数与密度

把“还没等到”的概率记为生存函数 $S (t) = P (T > t)$ 。这个名称来自寿命分析，在请求模型里可以把它直接读作“等待仍在继续的概率”。分布函数 $F (t) = P (T \leq t)$ 则表示“到这时已经等到”的概率。两种情况互为补事件，于是

$S (t) = e^{- r t}, F (t) = 1 - e^{- r t}, t \geq 0.$

负时间不能是等待结果，因此 $F (t) = 0$ （ $t < 0$ ）。对 $t > 0$ 求导，得到概率密度

$f (t) = F^{'} (t) = r e^{- r t} .$

完整地写，可取 $f (t) = r e^{- r t}$ （ $t \geq 0$ ），负时间处为零；单独指定 $t = 0$ 处的密度值不改变任何概率。具有这一密度的随机变量称为参数为 $r > 0$ 的指数随机变量，本文记作 $T \sim Exp (r)$ ，参数采用率的约定。NIST 可靠性手册也使用率参数给出密度、分布函数与生存函数。NIST：Exponential

密度不是某个精确时刻的概率。本例 $f (0) = 2$ ，单位是每分钟；这不表示概率为 2。要得到概率，需要把密度在一段时间内积分。密度的单位与时间微元相乘后消去，总面积为

$\int_{0}^{\infty} r e^{- r t} d t = {[- e^{- r t}]}_{0}^{\infty} = 1.$

对任意单独时刻 $a$ ，有 $P (T = a) = 0$ 。因此在连续模型里，“半分钟内”“小于半分钟”和“小于等于半分钟”的端点差别不改变概率；实际记录四舍五入到秒后，同一个显示读数仍可能对应一个有正长度的时间区间。

先算两个等待问题

半分钟内能等到的概率。 半分钟就是 30 秒。使用 $r = 2$ 次／分钟，代入 $t = 0.5$ 分钟，有

$P (T \leq 0.5) = 1 - e^{- 2 \times 0.5} = 1 - e^{- 1} \approx 0.632121.$

仍未等到的概率为 $e^{- 1} \approx 0.367879$ 。两者相加为 1：大约 63.21% 的模型等待在半分钟内结束，约 36.79% 会继续。

等待介于 15 秒与 1 分钟之间的概率。 先统一单位，15 秒等于 0.25 分钟。可以用两次累计概率相减：

$P (0.25 < T \leq 1) = F (1) - F (0.25) .$

把两项分别写出，常数 1 抵消：

$(1 - e^{- 2}) - (1 - e^{- 0.5}) = e^{- 0.5} - e^{- 2} \approx 0.471195.$

也可以读作“超过 15 秒的概率，减去超过 1 分钟的概率”。这样得到的仍是同一段时间的面积。

参数率为每分钟二的指数密度曲线，上方面板涂零至半分钟面积约零点六三二一；下方面板涂四分之一至一分钟面积约零点四七一二 — 同一密度上的两块积分区域分别回答两个问题。曲线的高度是每分钟的密度，标注的小数是整块面积。右侧曲线延续到无穷，图框只是截取显示范围。

先看上图，区间从 0 到 0.5，左端较高的密度使它容纳超过一半的总面积。再看下图，区间虽然更长，却不包含最左边那段较高区域，因此面积不是简单按区间长度分配的。若等待在某个区间内均匀分布，才可以直接按长度比例算概率；指数密度随时间变化，需按曲线下面积计算。

改变到达强度会怎样

率参数每分钟一二四对应的三条指数密度曲线，起点高度分别一二四，率越大曲线初始越高并越快下降；图例用实线虚线和点划线区分 — 三种模型均有总面积1。提高到达强度把等待分布压向较短时间，并非把总概率增加。

三条曲线都由 $f_{r} (t) = r e^{- r t}$ 给出。率 $r$ 增大时，一方面零附近密度变高，另一方面尾部衰减更快。例如等待超过半分钟的概率分别为

$e^{- 0.5} \approx 0.606531, e^{- 1} \approx 0.367879, e^{- 2} \approx 0.135335.$

这与“请求到达越频繁，一般等得越短”一致。但三种密度的面积都等于 1；图上的高低是密度位置与形状的变化，不是概率总量的变化。

有些资料用平均等待 $β$ 作为尺度参数，把密度写成 $f (t) = β^{- 1} e^{- t / β}$ ，此时 $β = 1 / r$ 。NIST 的另一页采用这一尺度形式。NIST：Exponential Distribution 所以看到 $Exp (2)$ 时应先查约定：率为 2 与平均等待为 2 是不同分布。

换时间单位也会改变率的数值。本例令 $T_{s} = 60 T$ 为以秒计的等待，则

$P (T_{s} > z) = P (T > z / 60) = e^{- 2 z / 60} = e^{- z / 30} .$

因此以秒计的率为 $1 / 30$ ，以分钟计的率为 2；它们描述同一个等待过程。乘积 $r t$ 必须无量纲，不能把“每分钟 2 次”直接乘以“30 秒”得到 60。

平均等待和方差为什么是倒数形式

平均等待由期望定义给出：

$E [T] = \int_{0}^{\infty} t r e^{- r t} d t .$

使用分部积分，取 $u = t$ 、 $d v = r e^{- r t} d t$ ，于是 $d u = d t$ 、 $v = - e^{- r t}$ 。因此

$E [T] = {[- t e^{- r t}]}_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{- r t} d t = \frac{1}{r} .$

边界项为零，是因为 $r > 0$ 时指数衰减使 $t e^{- r t} \to 0$ 。求二阶矩也按同样步骤做：

$E [T^{2}] = \int_{0}^{\infty} t^{2} r e^{- r t} d t = {[- t^{2} e^{- r t}]}_{0}^{\infty} + 2 \int_{0}^{\infty} t e^{- r t} d t .$

后一积分是 $E [T] / r$ ，因此 $E [T^{2}] = 2 / r^{2}$ 。减去均值的平方，得到

$Var (T) = E [T^{2}] - (E [T])^{2} = \frac{1}{r^{2}} .$

标准差为 $1 / r$ ，与均值相等。率为每分钟 2 次时，均值与标准差都为 0.5 分钟，即 30 秒。这里的倒数来自积分与参数的量纲；它不表示每次恰好间隔 30 秒。完整的积分计算也可参见 Pishro-Nik 教材指数分布小节。§4.2.2 Exponential Distribution

分位数：等多久能覆盖九成情况

平均数回答长期平均等多久，不回答“有九成把握能在多久以内等到”。后一个问题需要解累计概率。

对 $0 < p < 1$ ，设 $q_{p}$ 满足 $P (T \leq q_{p}) = p$ 。从分布函数出发，逐步解得

$1 - e^{- r q_{p}} = p, e^{- r q_{p}} = 1 - p, q_{p} = - \frac{\log (1 - p)}{r} .$

本例的中位数对应 $p = 0.5$ ：

$q_{0.5} = \frac{\log 2}{2} \approx 0.346574.$

单位是分钟，换成秒约为 20.79 秒。它小于均值 30 秒，反映出少数较长等待对平均数的影响。九成分位数则为

$q_{0.9} = \frac{\log 10}{2} \approx 1.151293,$

即约 69.08 秒。代回去， $e^{- 2 q_{0.9}} = 0.1$ ，所以仍有 10% 的模型等待超过这个长度。这个计算给出等待新请求的覆盖概率，不是客服系统响应时限的保证。

已经等了一分钟，是否快轮到了

假设从开始观察起，已经等了 1 分钟还没有任何请求。再等半分钟仍等不到的概率是多少？“已经等了一分钟”是附加信息，因此应求条件概率，而不是直接求总等待超过 1.5 分钟的概率。

一般地，对 $s, u \geq 0$ ，当 $T > s + u$ 时必然也有 $T > s$ 。按条件概率定义，

$P (T > s + u ∣ T > s) = \frac{P (T > s + u)}{P (T > s)} = \frac{e^{- r (s + u)}}{e^{- r s}} = e^{- r u} .$

分母始终为正，因此这个条件概率合法。结果只取决于额外等待 $u$ ，不取决于已经等待的 $s$ ；它正好等于最初 $P (T > u)$ 。这就是无记忆性。

本例令 $s = 1$ 、 $u = 0.5$ ，得到

$P (T > 1.5 ∣ T > 1) = \frac{e^{- 3}}{e^{- 2}} = e^{- 1} \approx 0.367879.$

注意它不等于未附加条件的 $P (T > 1.5) = e^{- 3} \approx 0.049787$ 。后者把一开始就较早等到请求的大量情况也算进总体；前者只在“已经等了一分钟还没来”的那些情况下重新计算比例。

从额外等待零开始，两条生存曲线分别表示原始等待超过u和已等待一分钟后仍要再等超过u的条件概率；两条曲线完全重合，在u等于半分钟处均约零点三六七九 — 实线为原始尾概率，虚线为条件化并重新计时后的尾概率。两条曲线重合是公式相等的结果；归一化分母 e的负二次方不能省略。

图的横轴是额外等待 $u$ ，而不是从最初起点累计的时间。给定 $T > 1$ 后，剩余等待 $T - 1$ 仍服从率为 2 的指数分布，所以平均还要等 0.5 分钟；总等待的条件均值则为 $E [T ∣ T > 1] = 1 + 0.5 = 1.5$ 分钟。无记忆性没有让过去的一分钟消失，而是说过去的等待没有改变剩余时间的分布。

同样的性质可以写成短区间里的条件到达率。已经等到 $t$ 还没到达时，在接下来长度为 $h$ 的短区间内到达的概率是 $1 - e^{- r h}$ 。除以 $h$ 再令 $h \to 0^{+}$ ，得到常数 $r$ 。在寿命分析中，这叫恒定的危险率或失效率；它是“尚未发生的条件下，每单位时间的瞬时发生强度”，不是密度 $f (t)$ 本身。

无记忆性为什么不能套给所有寿命

若一个设备越旧越容易坏，那么在“已使用很久仍未坏”的条件下，后续故障规律可能与新设备不同；有保养周期、磨损或老化的模型也常如此。NIST 将指数寿命模型与失效率近似恒定的阶段联系起来，而把早期失效、磨损阶段区分开。NIST：Uses of the Exponential Distribution Model

一个可直接核对的反例是 $T \sim Uniform (0, 2)$ ，即寿命在 0 到 2 个时间单位之间均匀分布。最初寿命超过 0.5 的概率为 $1.5 / 2 = 0.75$ ；但已存活超过 1 后，再存活超过 0.5 的条件概率为

$P (T > 1.5 ∣ T > 1) = \frac{0.5 / 2}{1 / 2} = 0.5.$

它与 0.75 不同，因此没有无记忆性。这里所有值非负、平均寿命有限，也完全不足以推出指数分布。实际使用等待或寿命模型时，要先辨认是否有恒定率、独立增量等机制，并核对数据中剩余等待是否随已等时间改变。

指数分布还与几何分布有离散到连续的联系：把时间切成小格，每格独立地以小概率出现事件，等待的格数服从几何分布；随着格长趋近于零并保持每单位时间发生率固定，等待时间趋于指数规律。这个联系与泊松分布来自稀有二项计数的极限互相对应，但离散格数与连续时间的概率公式不能混用。

电话业务与等待模型的发展

20 世纪初，电话系统推动了对到达次数、占用时间和等待问题的定量研究。Agner Krarup Erlang 在哥本哈根电话公司工作，并于 1909 年发表关于概率与电话通话的研究。MacTutor 的 Erlang 传记记载了他的电话业务研究背景与后续工作。MacTutor：Agner Krarup Erlang

这一背景也说明了为什么要把本篇的“到达间隔”与排队中的“顾客等候时间”分开：仅给出到达过程，还不足以确定服务系统的等待。现代概率教材把泊松计数与指数间隔作为基础组合，再增加服务时间、服务器数量与排队规则分析具体系统。指数分布在这一框架中的价值，是用清楚的恒定率假设给出可推导的等待规律，而不是替所有等待问题指定同一条曲线。

参考资料

NIST/SEMATECH，§8.1.6.1 Exponential：率参数、可靠性、恒定失效率及适用阶段。
NIST/SEMATECH，§1.3.6.6.7 Exponential Distribution：尺度参数约定、生存函数及分位数。
Pishro-Nik, H.，Introduction to Probability, Statistics, and Random Processes，§4.2.2 Exponential Distribution：密度、矩与无记忆性证明；§11.1.2 Poisson Process：计数与到达间隔。
O'Connor, J. J., Robertson, E. F.，Agner Krarup Erlang，MacTutor：电话业务概率研究的历史背景。