列昂惕夫投入产出模型

列昂惕夫投入产出模型（Leontief input–output model）用各部门之间的投入比例，计算满足给定最终需求所需的总产出。生产一种商品可能消耗另一种商品，而生产后者又要消耗前者；因此，总产出通常大于直接交付给最终使用者的数量。

这里讨论固定投入系数的开放模型。“开放”表示把居民消费、政府购买等最终需求放在生产部门体系之外，并把它作为给定量。先用一个两部门例子看清矩阵的行列，再讨论怎样保证计算出的产出具有非负的经济含义。

一万元最终需求，为什么不只生产一万元

设一个简化地区只有材料、加工两个部门。以下数据为合成教学数据；所有金额都按同一组固定价格计算，表中产出和需求的单位为万元/月。每生产一万元材料，需要消耗0.2万元材料和0.1万元加工服务；每生产一万元加工产品，需要消耗0.3万元材料和0.2万元加工服务。

把投入的来源放在行，把接受投入的生产部门放在列，得到直接消耗系数矩阵 $$A=\left(\begin{array}{cc}0.2& 0.3\\ 0.1& 0.2\end{array}\right).$$ 例如 $a_{12}=0.3$ 表示第二部门每一万元产出需要第一部门的0.3万元投入；它不表示第一部门每一万元产出给第二部门多少。一个系数的分母始终是它所在列的总产出。

设两部门总产出分别为 $x_1,x_2$，最终需求为50、70万元/月。材料总产出既要满足两部门内部消耗，也要满足外部50万元需求，故 $$x_1=0.2x_1+0.3x_2+50.$$ 对加工部门作同样的收支核对，有 $$x_2=0.1x_1+0.2x_2+70.$$ 这里的等式是产出的去向平衡。没有把固定资产、劳动等全部写成内部部门；它们的作用包含在模型边界与增加值之中。

箭头从供给部门指向使用部门。内部箭头与通向最终需求的箭头合计，分别等于各部门的100万元总产出。

图中的数字将在下一节解出后得到。先检查材料这一行：20万元由材料部门自己使用，30万元由加工部门使用，50万元交给最终用户，合计100万元。加工这一行则是10、20、70，合计也为100。不要把两条部门总产出相加的200万元称为最终需求或国内生产总值：中间产品在生产链中会被重复计入总产出。

从收支等式到矩阵解

令 $x=(x_1,x_2{)}^{𝖳}$、$d=(50,70{)}^{𝖳}$。矩阵乘积 $Ax$ 的第 $i$ 项是所有部门对第 $i$ 部门产品的内部需求。两条等式可写成 $$x=Ax+d,(I-A)x=d,$$ 其中 $I$ 为单位矩阵。移项不是额外的经济假设，只是把总产出与内部使用之间的差写成最终需求。

本例消去小数后的方程为 $$8x_1-3x_2=500,-x_1+8x_2=700.$$ 第二式给出 $x_1=8x_2-700$。代入第一式： $$8(8x_2-700)-3x_2=500,61x_2=6100.$$ 所以 $x_2=100$，再代回得 $x_1=100$。两部门分别需要100万元/月的总产出。

若有许多不同的需求方案，可以先求同一个矩阵的逆。这里 $$det(I-A)=0.8^2-0.3\times 0.1=0.61,$$ $$(I-A{)}^{-1}=\frac{1}{0.61}\left(\begin{array}{cc}0.8& 0.3\\ 0.1& 0.8\end{array}\right),x=(I-A{)}^{-1}d.$$ 这个逆矩阵称为列昂惕夫逆矩阵。第 $j$ 列表示第 $j$ 类最终需求增加一个单位、其他最终需求不变时，各部门总产出应增加多少。实际的大型计算一般直接解线性方程组，不必显式形成整个逆矩阵。

逆矩阵包含了哪些间接投入

如果先只生产最终需求 $d$，为了生产这批商品还需要 $Ad$；为了生产这批投入又需要 $A^{2}d$。前几层为 $$d=\left(\begin{array}{c}50\\ 70\end{array}\right),Ad=\left(\begin{array}{c}31\\ 19\end{array}\right),A^{2}d=\left(\begin{array}{c}11.9\\ 6.9\end{array}\right).$$ 例如31来自 $0.2\times 50+0.3\times 70$。它是直接满足最终生产所需的材料投入；11.9则是再上一层生产所需的材料投入。于是总需求逐层累加为 $$d+Ad+A^{2}d+\cdots .$$ 这是投入层次的展开，不是说真实工厂必须按这些“层”依次开工；现实中的生产可以同时进行。

第m步累计到A的m次幂乘需求。虚线100表示完整方程组的解，有限步的余量还没有被计入。

为什么这里的无穷和收敛？设 $\Vert z{\Vert }_1=\sum _i|z_i|$。本例每列系数之和分别为0.3和0.5，所以对任意向量 $z$， $$\Vert Az{\Vert }_1\le \sum _j\left(\sum _i{a}_{ij}\right)|z_j|\le 0.5\Vert z{\Vert }_1.$$ 每多乘一次 $A$，总绝对量至多缩成一半。因此，从零层加到第 $m$ 层后遗漏的量满足 $${\Vert x-\sum _{k=0}^m{A}^{k}d\Vert }_1\le 120\sum _{k=m+1}^{\mathrm{\infty }}(0.5{)}^k=240(0.5{)}^{m+1}.$$ 120是最终需求各分量之和。这个界说明怎样选择层数；它是保守上界，图中实际余量可以更小。

又因为 $$(I-A)(I+A+\cdots +A^m)=I-A^{m+1},$$ 且右侧最后一项趋于零，极限便给出 $$(I-A{)}^{-1}=I+A+A^2+\cdots .$$ 每项都非负，逆矩阵也非负。这同时解释了逆矩阵的经济含义和本例非负解的来源。

可逆，还不足以保证可生产

给定一组 $d\ge 0$ 时，最低限度的检查是：解是否存在，是否有 $x\ge 0$，并且是否满足实际产能。若希望任意非负最终需求都有唯一非负解，需要更强的系统条件：$A\ge 0$、$I-A$ 可逆，而且 $(I-A{)}^{-1}\ge 0$。矩阵不等号均逐项理解；满足这一性质的非负投入矩阵通常称为有生产性的矩阵。

例如单部门每生产一单位却需要自身1.1单位作为投入，方程为 $x=1.1x+1$。虽然系数 $1-1.1$ 非零，代数解 $x=-10$ 却不能作为生产方案。问题出在每多生产一单位，内部需求反而增加得更多。

每列和都小于一，是容易使用的充分条件；不是必要条件。更一般、也有直观意义的条件是存在严格正向量 $w$，使 $$Aw<w.$$ 它表示按某一种正比例生产时，每个部门在满足内部需求后都还有剩余。令 $q=\underset{i}{max}(Aw{)}_i/w_i<1$，以 $\Vert z{\Vert }_w=\underset{i}{max}|z_i|/w_i$ 度量向量，可逐项推出 $$|(Az{)}_i|\le \sum _j{a}_{ij}{w}_j\Vert z{\Vert }_w\le q{w}_i\Vert z{\Vert }_w.$$ 因此 $\Vert Az{\Vert }_w\le q\Vert z{\Vert }_w$，前面的级数证明仍然成立。反过来，若非负逆矩阵存在，取 $w=(I-A{)}^{-1}\mathrm{𝟏}$，则 $w=Aw+\mathrm{𝟏}\ge \mathrm{𝟏}$，所以 $Aw<w$。这证明了两种条件的等价性。生产性与简单行列和判据也见加州大学戴维斯分校讲义。

例如 $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1.2\\ 0.2& 0\end{array}\right)$ 有一列和为1.2，但取 $w=(2,1{)}^{𝖳}$，就有 $Bw=(1.2,0.4{)}^{𝖳}<w$。它在上述数学意义下有生产性；若把它解释为货币投入表，某部门中间投入超过产值的核算含义还须另行审查。可生产性不等于每一个部门按给定价格都盈利。

最终需求变化，与产能限制

保持投入技术和价格不变，需求增加 $\Delta d$ 后，将新旧两组方程相减，得到 $$(I-A)\Delta x=\Delta d,\Delta x=(I-A{)}^{-1}\Delta d.$$ 若材料最终需求增加6.1万元/月，而加工最终需求不变，则 $$\Delta x=\frac{1}{0.61}\left(\begin{array}{c}0.8\times 6.1\\ 0.1\times 6.1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\\ 1\end{array}\right).$$ 新的总产出为108、101万元/月。加工最终需求没有改变，加工总产出却增加一万元，因为材料生产也消耗加工服务。

横轴只改变第一类最终需求。第一部门的产能约束会在需求增量7.625万元/月处先起作用。

设两部门产能分别为110、105万元/月。上面的新方案可行；若材料最终需求增加12.2万元/月，则所需产出变为116、102，第一部门超过产能。矩阵的生产性保证非负代数解，却没有保证有限设备足以实现任意规模需求。若要在产能下选择应满足哪些需求，并权衡收益，就要进一步建立线性规划。

固定技术系数意味着投入与产出成比例，并忽略替代技术、价格变化和规模变化等因素。货币表必须使用可比较的价格；实物表中，系数的单位则为“第i种产品单位/第j种产品单位”，不能把不同物理量直接相加解释为总成本。投入产出核算的总需求系数也不应直接当作财政刺激对GDP的乘数，美国经济分析局的方法说明专门区分了这两种概念。

来源与相关知识

列昂惕夫以部门之间的直接、间接联系发展投入产出分析，并因这一方法及其经济应用获得1973年经济学奖。他在1973年的获奖演讲从相互联系的生产过程出发说明这一框架。

• Ali A. Daddel，Leontief Input Output Model：meeting the demand, profitability：生产性和非负逆矩阵。
• BEA，Concepts and Methods of the U.S. Input-Output Accounts：核算边界、投入产出表和总需求系数。
• Wassily Leontief，Structure of the World Economy，1973：作者对模型框架的说明。
• 先修：矩阵、线性代数；相关：线性规划、数学建模、供需模型。