洛伦兹曲线与基尼系数

洛伦兹曲线（Lorenz curve）先把统计单位按收入从低到高排序，再描出“收入较低的前多少比例单位，拥有总收入的多少比例”。基尼系数（Gini coefficient）把这条曲线与完全均等线之间的面积压缩为一个数，用于描述相对分布的差异。

这两个工具也可以用于其他非负量的分布，但必须始终明确统计单位、权重和量的定义。下面用五个等权统计单位的合成收入 $1, 2, 3, 4, 10$ 千元来计算。它们的总收入为 20 千元，平均为 4 千元；仅看平均数，还不知道收入怎样分配。

从五个收入数构造一条曲线

把收入排成 $x_{(1)} \leq \dots \leq x_{(n)}$ 。括号下标表示从小到大的名次，不是原始数据记录号。设收入非负且总和 $S = \sum_{j = 1}^{n} x_{(j)} > 0$ 。前 $k$ 个单位占全部单位的比例为 $p_{k} = k / n$ ，其累计收入占比为

$L_{k} = \frac{x_{(1)} + \dots + x_{(k)}}{S} .$

再补上 $(p_{0}, L_{0}) = (0, 0)$ ，依次连接各点，得到经验洛伦兹曲线。

名次 $k$	收入（千元）	累计收入（千元）	单位累计比例 $p_{k}$	收入累计比例 $L_{k}$
0	—	0	0	0
1	1	1	0.2	0.05
2	2	3	0.4	0.15
3	3	6	0.6	0.30
4	4	10	0.8	0.50
5	10	20	1	1

五个按从低到高排列的收入柱为一二三四十千元，前四柱合计十千元，等于总收入的一半 — 收入最高的一个单位拥有总收入的一半；其余四个单位合计拥有另一半。洛伦兹曲线把这种累计关系改写为比例。

例如点 $(0.8, 0.5)$ 表示收入最低的 80% 单位合计拥有 50% 的收入。它不表示“80% 的收入低于平均数”，也不把横轴解释为金额。

若每个单位收入相同，前 $p$ 的单位恰好拥有前 $p$ 的收入，曲线为 $L (p) = p$ ，称为完全均等线。按收入排序后，低收入部分的平均收入不超过整体平均收入，所以 $L (p) \leq p$ 。每一线段的斜率为

$\frac{L_{k} - L_{k - 1}}{p_{k} - p_{k - 1}} = \frac{n x_{(k)}}{S} = \frac{x_{(k)}}{\bar{x}} .$

随着名次增加，这些斜率不减，因此经验洛伦兹曲线单调不减且为凸函数。图上“向上弯”的形状来自排序，不是另加的拟合要求。

基尼系数为什么等于两倍面积

单位正方形中的均等线下方是面积为 $1 / 2$ 的三角形。将均等线与洛伦兹曲线之间的面积除以 $1 / 2$ ，定义

$G = \frac{\int_{0}^{1} [p - L (p)] d p}{1 / 2} = 1 - 2 \int_{0}^{1} L (p) d p .$

$G$ 没有单位。本文使用零到一的系数尺度；有些统计资料报告零到一百的基尼指数，对应 $100 G$ ，比较时要先统一尺度。世界银行：基尼指数定义与统计口径

单位正方形内，均等线从零零到一一，洛伦兹折线经过点零点八零点五，两线间填色面积为零点二，曲线下面积为零点三 — 曲线下方面积为 0.30，均等线下方面积为 0.50；两者相差 0.20，因此基尼系数为 0.40。

经验曲线每一段都是直线，可用梯形面积精确求积，毋须再作光滑拟合：

$\int_{0}^{1} L (p) d p = \sum_{k = 1}^{n} \frac{L_{k - 1} + L_{k}}{2} (p_{k} - p_{k - 1}) .$

本例每段宽 0.2，五个梯形面积依次为 $0.005, 0.020, 0.045, 0.080, 0.150$ ，总和为 0.30。因此 $G = 1 - 2 (0.30) = 0.40$ 。这里梯形公式是对所定义的经验折线精确计算，不是宣称五个观测能完全代表未知总体。

不画图，也能从两两差算出同一个数

基尼系数还有一个能直接检查收入差距的等价式：

$G = \frac{\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} | x_{i} - x_{j} |}{2 n^{2} \bar{x}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} | x_{i} - x_{j} |}{2 n S} .$

分子把每一对的收入差的绝对值相加，有顺序的 $(i, j)$ 与 $(j, i)$ 都算一次； $i = j$ 时贡献为零。分母用平均收入归一化，消除千元、元等尺度的影响。

要看清它与面积公式一致，先对排好序的数据只算 $i < j$ 。第 $k$ 个收入在与更低收入比较时出现 $k - 1$ 次正号，在与更高收入比较时出现 $n - k$ 次负号，因此

$\sum_{i < j} (x_{(j)} - x_{(i)}) = \sum_{k = 1}^{n} (2 k - n - 1) x_{(k)} .$

有序双重和是它的两倍，故

$G = \frac{2 \sum_{k = 1}^{n} k x_{(k)}}{n S} - \frac{n + 1}{n} .$

另一方面，把 $L_{k} = S^{- 1} \sum_{j = 1}^{k} x_{(j)}$ 代入前面的梯形公式、逐个收集 $x_{(j)}$ 的系数，也得到这个式子。本例 $\sum k x_{(k)} = 80$ ，于是 $G = 160 / 100 - 6 / 5 = 0.4$ ，与面积计算相同。

注意，统计软件还可能报告对非自身配对使用 $n (n - 1)$ 分母的平均绝对差。直接用它除以两倍样本均值，会与这里的经验分布系数相差因子 $n / (n - 1)$ 。应先核对所用定义，不宜把这种缩放一概称为“对总体基尼系数无偏”。NIST：Gini mean difference 的配对约定

一次转移怎样改变曲线

从最高收入单位转出 1 千元，给最低收入单位，得到 $(2, 2, 3, 4, 9)$ 。总收入仍为 20 千元，但累计份额改为 $0.10, 0.20, 0.35, 0.55, 1$ 。新的曲线在内部位于原曲线上方，基尼系数降为 0.32。

原分布一二三四十与转移后的二二三四九对应的洛伦兹曲线相比，转移后的各内部累计点上移，系数从零点四降到零点三二 — 转移保留总量，并缩小两端差距。按收入重新排序后，再计算累计份额。

同样，总体按正比例缩放不会改变曲线：每个收入乘以 $a > 0$ ，分子分母同时乘以 $a$ 。所以 $(2, 4, 6, 8, 20)$ 与原分布有相同的基尼系数，尽管平均收入翻了一倍。若每个单位都增加同一个正额 $b$ ，两两绝对差不变、均值增加，故

$G_{x + b} = G_{x} \frac{\bar{x}}{\bar{x} + b} .$

它降低的是相对差异；各单位之间以千元计的绝对差没有改变。

一个系数不能保留所有分布信息

分布 $(2, 2, 3, 4, 9)$ 与 $(0, 4, 4, 4, 8)$ 的总收入都为 20，基尼系数也都为 0.32，但一个没有零收入单位，另一个有。它们的洛伦兹曲线相交；相同的面积不能让每一个累计点都相同。

两个不同收入分布的洛伦兹曲线在内部相交，两条曲线各自下方面积都为零点三四，故基尼系数均为零点三二 — 相同基尼系数允许不同的分布形状。比较低收入群体份额时，还应看对应位置的累计比例。

在等权的 $n$ 个非负收入单位中，对 $i \neq j$ 有 $| x_{i} - x_{j} | \leq x_{i} + x_{j}$ 。对这些有序配对求和，每个收入在右边出现 $2 (n - 1)$ 次，所以分子不超过 $2 (n - 1) S$ ，得到 $G \leq 1 - 1 / n$ 。把全部收入集中给一个单位时取等号；此时经验曲线的面积也恰为 $1 / (2 n)$ 。因此本例 $n = 5$ 的最大值是 0.8，并不是 1；随单位数增大才可越来越接近 1。

真实数据常有调查权重，此时横轴应累计人口或单位权重，纵轴应累计加权收入，而不是机械使用 $k / n$ 。比较国家或时期时，还需核对收入还是消费、个人还是家庭、税前还是税后、价格与调查口径。负收入会使本篇使用的非负性、曲线位于单位正方形内等性质失效；全体收入为零则使份额的分母为零，需要另行约定。

洛伦兹曲线和基尼系数提供了描述分布的两个层次：前者保留整条累计关系，后者便于概括其面积。它们都不直接说明分布形成的原因，也不单独决定一个社会的福利评价。

参考资料

世界银行：Gini index 元数据与方法说明。
NIST：Gini Mean Difference。
美国人口普查局：Income Inequality Metrics。
Ronald J. Harshbarger、James J. Reynolds，Mathematical Applications for the Management, Life, and Social Sciences，第 10 版，第 13 章。