十二平均律

十二平均律（twelve-tone equal temperament）把一个八度分成十二个频率比相同的半音。八度的频率比规定为 $2 : 1$ ，所以每升高一个半音，频率都乘 $2^{1 / 12}$ 。这里的“平均”指每步的乘数相同，并非每步增加相同赫兹数。

本篇用一个300 Hz的合成参考音推导整套频率，再与简单整数频比比较。只需会乘方；对数用来解决“已知频率，反求相隔多少半音”的问题。这里计算的是理想频率关系，不涉及给实际乐器调律。

从周期与八度开始

频率 $f$ 表示每秒重复多少个周期，单位赫兹（Hz），即 $s^{- 1}$ 。300 Hz纯音在一秒中完成300次周期振动，一个周期的时间为 $T = \frac{1}{f} = \frac{1}{300} s \approx 3.333 m s .$ 600 Hz纯音的周期约为1.667毫秒。在同样10毫秒的时间内，两者分别完成3个和6个周期。600与300的频率比为2，音乐中将这种关系称为相隔一个八度。新南威尔士大学音乐声学资料用频率比定义八度与平均律半音之间的换算。

同一零到十毫秒时间轴上，三百赫兹正弦波完成三个周期，六百赫兹正弦波完成六个周期，振幅相同 — 观察横向重复次数。频率翻倍使周期减半；图中相同振幅只是为了突出频率变化。

图中的理想纯音可写为 $p (t) = A \sin (2 π f t + φ),$ 其中 $p (t)$ 是相对于平衡气压的声压变化， $A > 0$ 是声压振幅， $t$ 以秒计， $φ$ 是起始相位。时间增加 $1 / f$ 时，正弦内部的相位增加 $2 π$ ，所以完成一个周期。图中纵向绘制 $p (t) / A$ ，即以振幅为单位的归一化声压，未指定实际声压级。若写成 $\sin (B t)$ ，其中 $B$ 是角频率，满足 $B = 2 π f$ ；不能把它直接当作赫兹数。

音高是听觉属性，频率是可测的物理量。对稳定纯音，频率是决定音高的重要因素；实际乐音还有谐波、起音和衰减等结构。振幅也不能直接等同于感知响度，更不能把“频率加倍”说成“听起来高了两倍”。UNSW Physclips的音高、响度与音色说明区分了这些物理量与感知属性。

十二个相同的步长，为什么要开十二次方根

记300 Hz参考音为第0级，频率为 $f_{0}$ 。若相邻两级的频率比都为同一个正数 $q$ ，向上走一级、两级、三级后分别有 $f_{1} = f_{0} q, f_{2} = f_{0} q^{2}, f_{3} = f_{0} q^{3} .$ 十二步必须恰好到达上方八度，即 $f_{12} = 2 f_{0}$ 。由于 $f_{0} > 0$ ，两边约去 $f_{0}$ ，得到 $q^{12} = 2, q = 2^{1 / 12} \approx 1.059463094.$ 频率比取正值，因此采用正十二次方根。这就是同一八度内十二个半音的公比。计数时，第0级到第12级有十二个间隔、十三个端点；上方端点是参考音的上方八度。

一般地，与参考音相隔整数 $n$ 个半音的频率为 $f_{n} = f_{0} 2^{n / 12}, n \in ℤ .$ $n > 0$ 表示向上， $n < 0$ 表示向下。向下走一级就是除以 $q$ ；向下十二级得到 $f_{- 12} = f_{0} / 2$ 。选另一个参考音，只会把整套频率同时乘一个常数，不会改变半音比。

以 $f_{0} = 300 H z$ 计算，保留三位小数：

半音数 $n$	频率比 $2^{n / 12}$	频率（Hz）
−12	0.5	150.000
0	1	300.000
1	约1.059463	317.839
4	约1.259921	377.976
7	约1.498307	449.492
12	2	600.000

例如第7级要计算 $300 \times 2^{7 / 12}$ ，而不是 $300 + 7 \times (600 - 300) / 12$ 。后一种等分赫兹的方法会得到475 Hz，与平均律的449.492 Hz不同。

常用的另一参照是A4为440 Hz；ISO 16:1975《Acoustics—Standard tuning frequency》规定了该标准频率。于是以A4为第0级时，同一公式变为 $f_{n} = 440 2^{n / 12} H z$ 。440规定绝对位置， $2^{1 / 12}$ 规定相邻关系，是两件独立的事。本篇的300 Hz只是方便检查比例的参考，并不将它命名为标准A音。

等比在普通频率轴上并不等距

相邻两级的赫兹差为 $f_{n + 1} - f_{n} = f_{n} (q - 1) .$ 公比 $q$ 固定，但这个差还乘有当前频率。300 Hz上方第一个半音相差约17.839 Hz；600 Hz上方第一个半音相差约35.678 Hz，正好翻倍。两者都是一个平均律半音。

上轴按赫兹等距排列时十三个平均律频率越往右间距越大，下轴按半音数排列时十二个间隔等长，标明三百到六百赫兹 — 上下两轴表示同一组频率。上轴做频率加法；下轴把频率比取对数，因此每个半音的间距相同。

图的上轴用均匀赫兹刻度，越高的相邻音越分散；下轴把横坐标改为 $n = 12 \log_{2} \frac{f}{f_{0}} .$ 它来自原式的反解：先除以 $f_{0} > 0$ ，再对正比值取以2为底的对数，得到 $\log_{2} (f / f_{0}) = n / 12$ ，最后乘12。因而下轴上的十二个间隔恰好等长。

反解公式也可用于任意正频率，但结果不一定是整数。整数表示落在以该参考音确定的十二平均律音高格点上；例如 $n = 1 / 2$ 描述半个半音的位置，它是可定义的频率，却不是这套十二平均律中相邻两音之一。

平均律五度与纯律五度相差多少

在纯律中，五度取频率比 $3 : 2$ ，大三度取 $5 : 4$ ，以下分别称为纯律五度和纯律大三度。这里“纯律”指频率比的安排；音乐中的“纯五度”也可以指音程类别，不能仅凭这个名称断定频率比精确为 $3 : 2$ 。这些简单整数比与十二平均律的频率比并不完全相同；UNSW关于纯律音程与音律的教学资料给出了相应比值和声音示例。这里比较理想音程，不预设哪一种在所有音乐情境中都更好。

平均律五度包含7个半音，频率比为 $2^{7 / 12} \approx 1.498307$ 。从300 Hz出发，纯律五度是450 Hz，平均律五度约449.492 Hz，后者低约0.508 Hz。平均律大三度包含4个半音，频率比为 $2^{4 / 12} = 2^{1 / 3} \approx 1.259921$ ，比纯律大三度的 $5 / 4 = 1.25$ 稍大；对应频率约377.976 Hz与375 Hz。

用赫兹差比较音程偏离，会受参考频率影响。为比较比例偏离，定义频率比 $r > 0$ 对应的音分数为 $c (r) = 1200 \log_{2} r .$ 一个八度对应1200音分，一个平均律半音对应100音分；两段音程先后叠加时，频率比相乘，而对数使音分相加： $c (r_{1} r_{2}) = c (r_{1}) + c (r_{2})$ 。

将平均律音程减去纯律音程，得到 $Δ c_{5} = 1200 \log_{2} \frac{2^{7 / 12}}{3 / 2} = 700 - 1200 \log_{2} (3 / 2) \approx - 1.955 音分,$ $Δ c_{3} = 1200 \log_{2} \frac{2^{1 / 3}}{5 / 4} = 400 - 1200 \log_{2} (5 / 4) \approx 13.686 音分 .$ 负号表示平均律五度略窄，正号表示平均律大三度略宽。把300 Hz参考改成600 Hz，这两个音分差仍然相同。

以相应纯律音程为零，平均律五度位于负一点九五五音分，平均律大三度位于正十三点六八六音分，两面板各标自己的音分刻度 — 每个面板的0都是相应纯律音程。为读清差异，两面板范围不同，应比较标出的音分数而非线段的屏幕长度。

为何不把所有五度都设成 $3 / 2$ ，同时要求它们在十二步之后与七个八度完全闭合？两种路径的总频率比分别为 $(3 / 2)^{12}$ 和 $2^{7}$ ，相除得到 $\frac{(3 / 2)^{12}}{2^{7}} = \frac{3^{12}}{2^{19}} = \frac{531441}{524288} \neq 1.$ 差异约为23.460音分。这是精确整数幂产生的不相等，而不是小数舍入误差。十二平均律把每个五度取为 $2^{7 / 12}$ ，于是十二个这样的五度相乘，恰有 $(2^{7 / 12})^{12} = 2^{7}$ ；代价是每个五度不再精确等于 $3 / 2$ 。

纯律以选定的简单整数比组织音程，具体配置与参考关系有关；十二平均律则让任何起点向上相同半音数都具有相同频率比。这有利于保持移调前后的音程结构，但并不把不同音律、音色和演奏方式的审美差别变成一道数值大小题。

变式：已知频率，辨认最近的平均律位置

问题。仍以300 Hz为第0级，450 Hz与它相隔多少个平均律半音？最接近哪个整数级，偏离多少音分？

解答。先计算无量纲比值 $450 / 300 = 1.5$ ，再反解： $n = 12 \log_{2} (1.5) \approx 7.019550.$ 最近整数是7，因此最近的格点为第7级，频率约449.492 Hz。450 Hz在其上方，音分差为 $100 (7.019550 - 7) \approx 1.955$ 。这与前一节“平均律五度比纯律五度低1.955音分”方向相反、大小相同，因为这次交换了比较顺序。这里“最近”按音分距离，即对数频率距离定义。

再走一条路径。从300 Hz先下降5个半音，再上升12个半音，结果是多少？频率依次乘 $2^{- 5 / 12}$ 与 $2^{12 / 12}$ ，总乘数为 $2^{7 / 12}$ ，所以又到达约449.492 Hz。音程步数可以相加，背后对应的是频率比相乘。

进一步阅读

比与比例说明为何比较音程要固定频率比；幂函数与尺度律解释倍数与对数坐标。在本篇中，半音数 $n$ 出现在指数位置，因此频率关于 $n$ 是指数关系；它与变量在底数位置的幂函数需要区别。

Joe Wolfe, UNSW, Note names, MIDI numbers and frequencies：频率、半音与音分的换算。
UNSW Physclips, Pitch, loudness and timbre：物理量与听觉属性。
UNSW Physclips, Tartini tones, consonance, temperament, harmony and scales：纯律五度、纯律大三度与平均律。
ISO 16:1975, Acoustics—Standard tuning frequency：标准参照频率440 Hz。