幂函数与尺度律

幂函数把变量放在底数位置，指数固定，通常写作 $y = a x^{b}$ 。尺度律关注输入改变一定倍数时，输出怎样改变；对于正值幂函数，输入乘 $k$ ，输出就乘 $k^{b}$ 。面积随长度的平方、体积随长度的立方变化，是由几何可以严格推出的例子；由观测拟合出的幂关系则需要另外检验。

本篇从同材质立方体的称重问题出发，说明怎样识别指数、读双对数图，并判断几条数据究竟证明了什么。需要会乘方和比与比例；对数在使用时会解释它要解决的问题。

大一倍的立方体，会重多少

设制作几块均匀的实心立方体，材料密度固定为 $ρ = 1.2 {g / c m}^{3}$ 。这是合成教学案例，暂不计孔洞、涂层和密度变化。把物理长度记作 $ℓ$ ，物理质量记作 $M$ 。为方便计算，取它们在厘米、克单位下的数值 $x = \frac{ℓ}{1 c m}, m = \frac{M}{1 g} .$ 所以边长为 $x$ 厘米，质量为 $m$ 克。物理关系为 $M = ρ ℓ^{3}$ ；将 $ℓ = x \cdot 1 c m$ 代入，得到 $M = 1.2 x^{3} g$ ，两边再除以1克，数值关系就是 $m = 1.2 x^{3} .$ 以下的 $x, m$ 始终表示这两个数值；需要更换单位时，另加下标说明。

先取边长2厘米：体积为 $2 \times 2 \times 2 = 8$ 立方厘米，质量为 $1.2 \times 8 = 9.6$ 克。如果边长变为4厘米，三个方向都变为原来的两倍，所以 $m (4) = 1.2 \times 4^{3} = 76.8 = 8 m (2) .$ 新质量为76.8克，是原来的八倍。再把边长变为8厘米，质量又变为原来的八倍。

以 $S$ 表示表面积的平方厘米数值，六个正方形表面给出 $S = 6 x^{2}$ 。

边长（cm），数值 $x$	表面积（cm²），数值 $S$	质量（g），数值 $m$
2	24	9.6
4	96	76.8
8	384	614.4

同一次边长翻倍使表面积乘4、质量乘8。若观察散热或涂覆材料，表面积可能是主要变量；若观察用料与搬运，质量又是另一种尺度。这些现象共享同一个几何对象，指数却不同。

以边长两厘米为基准，横轴为边长比X，三条曲线分别为长度比X、表面积比X平方、质量比X立方，都通过一点一 — 横纵轴都是相对于基准的倍数。在X等于2处，三个高度分别为2、4、8；在X小于1处，指数更大的曲线反而更低。

图将边长2厘米作为基准，令 $X = x / 2$ ，其中 $x$ 仍是边长的厘米数值。纵轴分别画长度比、表面积比和质量比，因此能在同一张图上比较；不能把“96平方厘米”与“76.8克”直接当作同一种量比较大小。

从这个例子写出一般规则

OpenStax《Precalculus 2e》3.3节将幂函数写为一个常系数乘变量的固定实数次幂。讨论正的大小、质量或时间尺度时，通常采用 $y = a x^{b}, x > 0, a > 0, b \in ℝ .$ $a$ 控制相同 $x$ 下的整体大小， $b$ 控制倍数变化。这里的函数变量是数值。若另用带单位的物理量写作 $M = A ℓ^{b}$ ，系数 $A$ 的单位应为质量单位除以长度单位的 $b$ 次幂，指数 $b$ 无量纲；更换单位会改变数值公式中的系数 $a$ 。

令输入乘任意正倍数 $k$ 。由于 $a > 0, x > 0$ ，原来的 $y$ 不为零，可以相除： $\frac{y (k x)}{y (x)} = \frac{a (k x)^{b}}{a x^{b}} = \frac{a k^{b} x^{b}}{a x^{b}} = k^{b} .$ 相除消去了系数和原始尺度，留下的只有倍数 $k$ 和指数 $b$ 。这正是幂关系的特征：相同输入倍数，产生相同输出倍数，与从多大开始无关。

当 $b = 1$ 时是正比例； $b = - 1$ 时是反比例，输入翻倍使输出减半； $b = 0$ 时输出恒为 $a$ ； $b = 1 / 2$ 时输入乘4，输出乘2。幂函数还可以有负系数，或在负数上有定义，例如 $y = - x^{3}$ 。本篇采用正值范围，是为了让大小的倍数与对数都有统一含义，并不是说所有幂函数都只能这样定义。

定义域要随指数检查： $x^{- 1}$ 在0处无定义；实数范围的 $x^{1 / 2}$ 可取 $x \geq 0$ ； $x^{1 / 3}$ 可以取任意实数。统一限制 $x > 0$ 时，每个实指数都可通过 $x^{b} = e^{b \ln x}$ 定义。

还要区分 $x^{3}$ 与 $3^{x}$ 。前者把输入翻倍，输出乘8；后者把输入增加1，输出乘3。幂关系追踪输入的倍数，指数增长追踪输入的固定增量。

同一个立方体，换单位会发生什么

以厘米和克计算时系数为1.2。改用米记录边长数值 $x_{m}$ ，原数值为 $x = 100 x_{m}$ ；再以 $m_{k g}$ 表示质量的千克数值，得到 $m_{k g} = \frac{1.2 (100 x_{m})^{3}}{1000} = 1200 x_{m}^{3} .$ 系数变为1200，指数仍为3。它对应密度 $1200 {k g / m}^{3}$ ，没有改变材料。

也可以选定参考物体，以 $x_{0} > 0$ 、 $m_{0} > 0$ 表示它在同一套单位下的边长数值与质量数值，写成 $\frac{m}{m_{0}} = {(\frac{x}{x_{0}})}^{3} .$ 本例取 $x_{0} = 2$ 、 $m_{0} = 9.6$ ，对应边长2厘米、质量9.6克的物体。 $x / x_{0}$ 等于两物体物理长度之比；若同时改用米记录，两数都除以100，比值不变。质量比同理。这也为下一步取对数做好了准备。

为什么双对数图会成为直线

令 $X = x / x_{0}$ 、 $Y = m / m_{0}$ ，两者都是正的无量纲比值。由 $Y = X^{3}$ ，两边取以2为底的对数： $\log_{2} Y = 3 \log_{2} X .$ 对数回答“2要乘方多少次才得到这个数”。因此 $X = 1, 2, 4$ 在横轴上变成 $0, 1, 2$ ，相应的 $Y = 1, 8, 64$ 在纵轴上变成 $0, 3, 6$ 。每当横坐标增加1，纵坐标增加3，三个点就在斜率为3的直线上。

同一立方体数据在双对数坐标中为零零、一三、二六三点，直角辅助线标明横向增加一时纵向增加三 — 图上每个坐标都是比值的以2为底对数。横轴的一格表示边长翻倍，纵轴的一格表示质量翻倍。

一般地，正值幂模型可以写为 $Y = C X^{b}$ ，其中 $C > 0$ 。利用乘积与乘方的对数规则，有 $\log Y = \log C + b \log X .$ 这是一条在对数坐标中的直线，斜率为 $b$ ，截距为 $\log C$ ；横纵使用同一对数底数。自然对数、常用对数或以2为底的对数均可，斜率不变。NIST仪器校准模型说明给出了幂模型的对数线性化，并说明误差结构会影响应如何拟合。

图形变直不表示原量满足加法关系。图中从横坐标1走到2，实际边长是从4厘米变到8厘米；从纵坐标3走到6，实际质量是从76.8克变到614.4克。图轴上做加法，对应原量做乘法。

怎样从两个点求出候选指数

假定两个正值数据 $(x_{1}, y_{1})$ 、 $(x_{2}, y_{2})$ 精确落在同一幂函数上，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 。先将两个方程相除以消去 $a$ ： $\frac{y_{2}}{y_{1}} = {(\frac{x_{2}}{x_{1}})}^{b} .$ 比值都为正，可以取对数。因为 $x_{2} / x_{1} \neq 1$ ，其对数非零，故 $b = \frac{\ln (y_{2} / y_{1})}{\ln (x_{2} / x_{1})}, a = \frac{y_{1}}{x_{1}^{b}} .$ 立方体的第一、第二个精确数据给出 $b = \ln 8 / \ln 2 = 3$ ，再得 $a = 9.6 / 2^{3} = 1.2$ ，与先前由体积推出的关系一致。

现在模拟称重记录，取边长2、4、8厘米，对应记录质量10、76、640克。这三项数值刻意与理想值略有差别，用于演示检验方法，不是真实实验。若只用两个端点求幂函数，则 $b = \frac{\ln (640 / 10)}{\ln (8 / 2)} = \frac{\ln 64}{\ln 4} = 3, \hat{m} = 1.25 x^{3} .$ 该候选在 $x = 4$ 处预测80克，但中间记录只有76克。定义残差为“记录值减预测值”，得到 $76 - 80 = - 4$ 克，相对于80克预测值偏低5%。端点完全吻合，是因为它们本来就被用来确定两个参数；中间点才提供了新的检查。

三个边长处的记录与端点幂模型预测之比为一、零点九五、一，四厘米处低于水平参考线 — 纵轴使用记录值除以预测值；低于1表示记录小于预测。用比值放大了原质量图上容易被大数值遮住的相对偏差。

这个偏差是否可接受，要与称量误差、制作误差和实际用途比较。只有三个点时，既不能断言模型已被证明，也不能在不知道误差尺度时断言材料规律必定错误。应增加不同尺寸的独立测量，并查看残差是否呈现系统性的弯曲或随尺寸增大的趋势。

若用所有正值数据做对数最小二乘法，所最小化的是 $\sum_{i} {[\ln Y_{i} - (\ln C + b \ln X_{i})]}^{2} = \sum_{i} {[\ln \frac{Y_{i}}{C X_{i}^{b}}]}^{2} .$ 每项衡量的是记录与模型的比值偏差，而不是克数差。因此它与直接最小化原质量残差平方不相同。乘性误差较合理时，对数拟合可能有用；误差近似为固定克数时，直接在原尺度拟合可能更符合问题。参见残差分析。

当假设改变，立方规律在哪里失效

若每个立方体都另加8克固定包装，以 $w$ 表示总称重的克数值，则 $w (x) = 1.2 x^{3} + 8.$ 边长2厘米时总重17.6克，边长4厘米时总重84.8克，倍数为 $84.8 / 17.6 = 53 / 11 \approx 4.818$ ，不是8。立方关系仍描述材料本身，却不精确描述“材料加固定包装”。尺寸很大时，包装占比较小，立方关系可以成为总重量的近似；近似误差应按包装占总重的比例检查。

同样，空心壁厚固定、材料密度随尺寸变化，或只增加高度而横截面不变，都改变了推导所需的条件。把对数图画成近似直线，不会使这些条件自动成立。尺度律是模型关系；判断它能否推广，要回到对象和机制。

变式：反求边长，再检查百分比

问题。仍用最初的均匀实心材料，要求质量为边长2厘米立方体的27倍。边长、表面积应变为多少？

解答。质量比满足 $k^{3} = 27$ ，长度为正，故 $k = 3$ 。边长变为6厘米，质量为 $9.6 \times 27 = 259.2$ 克，表面积为 $24 \times 3^{2} = 216$ 平方厘米。直接代入 $1.2 \times 6^{3}$ 和 $6 \times 6^{2}$ 可分别核对。

再判断。若边长减少10%，质量是否减少30%？新旧边长比为0.9，质量比为 $0. 9^{3} = 0.729$ ，所以质量减少27.1%。展开 $(1 + u)^{3} = 1 + 3 u + 3 u^{2} + u^{3}$ 可见“相对变化约为三倍”只是在 $u$ 很小时忽略高次项的近似，不能代替有限变化的精确幂次计算。

进一步阅读

相似与比例尺说明平方、立方从几何的哪些方向产生；量纲分析检查单位和可用的无量纲变量；十二平均律提供另一种乘法结构：半音步数是输入，频率按指数变化，取对数后可把频率比换成音程。

OpenStax, Precalculus 2e, 3.3 Power Functions and Polynomial Functions：幂函数定义与函数类型。
NIST/SEMATECH e-Handbook, 2.3.6.1 Models for instrument calibration：幂模型、误差结构与对数变换。