向量空间

向量空间是在一个数域上定义了向量加法和标量乘法，并满足相应运算公理的集合。平面箭头是直观例子，但向量也可以是多项式、函数、数列或矩阵；关键在于运算结构，而非外观。

向量可以相加，也可以按比例缩放

以实数域 $ℝ$ 为例，空间 $V$ 中任意 $u, v, w$ 及实数 $a, b$ ，加法满足交换律、结合律，存在零向量和每个向量的加法逆元；数乘满足 $a (u + v) = a u + a v, (a + b) v = a v + b v, a (b v) = (a b) v, 1 v = v .$ 加法与数乘的结果必须仍属于 $V$ ，称为封闭性。数域是定义的一部分：同一个集合在不同数域上可能有不同维数，例如复数作为复向量空间是一维，作为实向量空间是二维。

用少数向量表示所有向量

表达式 $a_{1} v_{1} + \dots + a_{n} v_{n}$ 称为线性组合。这些组合形成的集合是 $v_{1}, \dots, v_{n}$ 的张成空间。

若只有系数全为零时才能使 $a_{1} v_{1} + \dots + a_{n} v_{n} = 0$ ，就称这组向量线性无关。既线性无关又张成整个空间的一组向量称为基；有限维空间任意一组基的向量个数相同，称为维数。

平面向量v由两倍向量b1加向量b2组成，虚线构成平行四边形 — 基决定坐标：(3,1) 在标准基下的坐标是 (3,1)，在 b₁=(1,0)、b₂=(1,1) 下的坐标是 (2,1)。

取 $b_{1} = (1, 0)$ 、 $b_{2} = (1, 1)$ 。因为 $2 b_{1} + b_{2} = (3, 1),$ 向量 $(3, 1)$ 在该基下的坐标是 $(2, 1)$ 。坐标变了，向量本身没有变。基不要求互相垂直或长度为 1，正交归一基只是特别方便的一类基。

子空间与不通过原点的直线

向量空间的子集若包含零向量，并对向量加法、数乘封闭，就构成子空间。例如 $W = {(x, y) \in ℝ^{2} : y = 2 x}$ 由 $(1, 2)$ 张成，是一维子空间。

直线 $y = 2 x + 1$ 不包含零向量，因此不是子空间，而是仿射子空间。第一象限即使包括边界，也不对负数的数乘封闭。这些例子说明，视觉上“平直”不足以保证是向量子空间。

多项式也是向量

次数至多为 2 的实系数多项式构成空间 $P_{2}$ ，一组基为 $1, x, x^{2}$ 。多项式 $2 - 3 x + x^{2}$ 的坐标是 $(2, - 3, 1)$ ，所以 $\dim P_{2} = 3$ 。

注意“次数恰好为 2”的多项式集合不是向量空间：它不包含零多项式，两个二次多项式相加还可能消去二次项。所有多项式的空间则是无限维的，不能用固定有限个多项式表示一切多项式。

结构还可以继续增加

向量空间本身只有加法和数乘，并未自动规定长度、角度或正交。加入内积后，才能自然定义这些几何概念。线性代数研究保持线性组合的映射；选择定义域和值域的基后，这些映射就可以写成矩阵。

延伸阅读

MIT OpenCourseWare，18.06 Linear Algebra：向量空间、基、维数与正交性。
矩阵 · 线性代数 · 群