2019年国赛B题：“同心协力”策略研究
2019年国赛B题：“同心协力”策略研究是2019年高教社杯全国大学生数学建模竞赛的B题。团队成员分别牵拉鼓身上的绳子，使鼓把排球连续颠起；题目研究理想控制、发力误差和球偏离竖直方向时的协作问题。
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道具、人员与游戏要求
鼓为牛皮双面鼓，各根等长绳子的固定点沿鼓身中部圆周均匀分布。每名队员牵拉一根绳子，只能握住末端，不能碰鼓或绳子的其他位置。
排球质量为270 g；鼓面直径40 cm，鼓身高度22 cm，鼓质量3.6 kg。参加人数不少于8人，队员之间的距离不得小于60 cm。
起始时鼓面水平，球从鼓面中心上方40 cm处竖直落下。每次颠起的高度应离开鼓面40 cm以上；低于40 cm时项目停止。目标是使连续颠球次数尽可能多。
问题1：理想控制下的协作
假定每位队员都能精确控制用力方向、发力时机和力度，讨论最佳协作策略，并给出该策略下球被颠起的高度。
问题2：时机与力度误差造成的鼓面倾斜
现实中发力时机和力度存在误差。建立它们与某一时刻鼓面倾角之间的关系模型。
本问指定8名队员、绳长1.7 m。鼓面初始时水平且静止，位置比绳子处于水平状态时低11 cm。按下面九组输入，分别求0.1 s时鼓面的倾斜角度。
每个括号内依次列出队员1至8的数值；时机单位为s，力单位为N。负时刻按表保留。
| 组别 | 发力时机（1—8号队员） | 力度（1—8号队员） |
|---|---|---|
| 1 | （0，0，0，0，0，0，0，0） | （90，80，80，80，80，80，80，80） |
| 2 | （0，0，0，0，0，0，0，0） | （90，90，80，80，80，80，80，80） |
| 3 | （0，0，0，0，0，0，0，0） | （90，80，80，90，80，80，80，80） |
| 4 | （−0.1，0，0，0，0，0，0，0） | （80，80，80，80，80，80，80，80） |
| 5 | （−0.1，−0.1，0，0，0，0，0，0） | （80，80，80，80，80，80，80，80） |
| 6 | （−0.1，0，0，−0.1，0，0，0，0） | （80，80，80，80，80，80，80，80） |
| 7 | （−0.1，0，0，0，0，0，0，0） | （90，80，80，80，80，80，80，80） |
| 8 | （0，−0.1，0，0，−0.1，0，0，0） | （90，80，80，90，80，80，80，80） |
| 9 | （0，0，0，0，−0.1，0，0，−0.1） | （90，80，80，90，80，80，80，80） |
问题3：现实误差下是否调整策略
依据问题2建立的模型，判断问题1的协作策略在现实情况下是否需要改变。若需要，说明调整方式。
问题4：把偏斜弹跳调回竖直方向
令人数为10人，绳长2 m，球反弹高度为60 cm。球的弹跳方向与竖直方向相差1°，其倾斜方向在水平面上的投影位于两名队员之间，与这两名队员所对应方向的夹角之比为1∶2。
为了使球恢复竖直弹跳，在能够精确控制的前提下，给出所有队员的发力时机和力度，并分析该调整策略在现实误差下的实施效果。
附件与来源
下载2019年国赛官方题目与附件包，使用其中的B-2019中文/目录。原题PDF位于B-2019中文/CUMCM-1019-Problem-B-Chinese.pdf。
来源：全国大学生数学建模竞赛2019年赛题发布页。核对日期：2026年9月22日。