二次型

二次型是变量的二次齐次多项式；在实数情形总可写作 $Q (x) = x^{T} A x$ ，其中 $A$ 是实对称矩阵。它把向量送到一个数，常用于测量曲面的弯曲、距离的平方或优化问题的局部形状。

系数怎样放进矩阵

对 $Q (x, y) = x^{2} + 2 x y + 2 y^{2}$ ，取 $A = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix})$ ，直接相乘： $(x, y) A (\binom{x}{y}) = x (x + y) + y (x + 2 y) = x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} .$ 交叉项 $2 x y$ 来自上、下两个对称位置各贡献 $x y$ ；若直接把2填进两个位置，会误得 $4 x y$ 。

配方给出 $Q = (x + y)^{2} + y^{2}$ 。因此只要 $(x, y) \neq (0, 0)$ ，至少有一项平方为正， $Q > 0$ 。把方程 $Q (x, y) = 1$ 画在平面上，得到一条椭圆；这不是“看起来像椭圆”的猜测，可令 $u = x + y$ 、 $v = y$ ，方程便是 $u^{2} + v^{2} = 1$ ，再做可逆线性坐标变换。

与极值的联系

在点附近，二次可微函数的二阶近似包含 $\frac{1}{2} h^{T} H h$ ，其中 $H$ 是多元函数的极值中的 Hessian 矩阵。如果一阶变化为零、二次型对所有非零小方向均为正，那么函数在该点有严格局部最小值；若二次型有正有负，则沿不同方向既上升又下降。半正定的情形不能单凭二次项断言严格极值，较高阶项仍可能决定结果。

并非所有二次型都像上述例子一样取正： $x^{2} - y^{2}$ 在 $(1, 0)$ 为正，在 $(0, 1)$ 为负。先检查系数矩阵的性质，再谈“长度”或“最小值”，参见正定矩阵。

参考资料

MIT OpenCourseWare 18.06：Lectures 25、27：对称矩阵、二次型与极小值。
OpenStax《Calculus Volume 3》§4.7：多元函数的二阶判别与极值。